ScHoi TKv : Geometr. Begiifl' der Funktion einer kumplexen VeränderlicIiL-n lS)i 



L und dem Rande von H', so sind a' — z und >/ — c größer als S. Dann 

 läßt, sich eine positive Zahl uo angel)eii. gr<ißer als alle Werte von 

 R.{x — z , y — z) imd S[x — z, y — z). Demnach existiert auch eine endliche 

 Zahl M, unter der F{x . y) und G{x.y) bleiben, solange .r und // auf H' 

 beschränkt werden. 



Ferner besteht die Poteuzentwicklung. AVir nehmen dieT-WLOusche 

 Ixeihe an für die rationale Funktion R{x). Danach ist 



R(:r-z) = R{y-z)^{x-y)R'[y-z) + nsyf. 



Dies gilt, wenn wir nur x als variabel ansehen, für das Innei-(5 

 des Kreises, der um y beschrielien ist und durcJi z hindurchgeht. 

 Nehmen wir auch c als variabel an, aber beschränkt auf die Linie L, 

 so gilt die Entwicklung für das Innere des Kreises um y, der die 

 Linie L berührt, und aus den aufgestellten Gleichungen folgt, daß 

 b(n dieser Beschränkung von x 



F{x) = F(y) + {x — y)F'{y)-t-\isw. 



Kehren wir zurück zu der Formel 



wdz 



ist. 



'c. = I 



c{z — z„) 



Aus der durchgeführten Betrachtung folgt, daß das Integral, 

 das auf der einen Seite steht, eine innerhalb der Integrationslinie 

 vollständig regiüäre Funktion von 2^^ ist, also auch eine stetige, und 

 der Wert w^ ändert sich ebenfalls stetig mit P„. Zwei stetige Größen 

 können nicht im allgemeinen gleichwertig und in einzelnen Punkten 

 verschieden sein: die Gleichung gilt daher auch für die problemati- 

 schen Punkte: man sieht, trotz der unvollkommenen Voraussetzungen, 

 daß w aucli in diesen Punkten eine A'öllig reguläre Funktion von z ist. 

 Dann ist sie regulär im ganzen Gebiete G, denn wir können die Raute 

 beliebig variieren. 



Wenn das feststeht, so kann man, um den CAUciiYschen Inte- 

 gralsatz in seiner allgemeinsten Fassung aufzustellen, auch bei den 

 schwachen Voraussetzungen über w, ruhig die Methode von Green, 

 Cauchy und Riemann beniitzen, die auf dem Flächeuintegral beruht. 

 Wir nehmen ein beliebiges Gebiet G der Ebene an: zu den Grenzen 

 können auch einzelne Punkte gehören : jedenfalls rechnen wir den 

 unendlich fernen nicht zum Gebiete, /(.i) ilenken wir uns l)ald als 

 eindeutig definierte völlig iTguläre Funktion für alle Punkte x^=^ ^-i-ivi, 

 die im Innern von G liegen; auf ihr Verhalten an der Grenze kommt 

 es nicht an. Statt G denken wir uns ein Teilgebiet G' , das aus G 

 entsteht, indem wir die einzelnen Grenzen Lo, L,---L„ von G durch 

 ihnen naheliegende geschlossene Linien L\,L\---L'„ ersetzen, die 



