798 Sitzting der physikalisch-inatlieiuatischtMi Klasse vom 11. November 1915 



ganz im Innern von G veiiaufcn; wen)! man will, kann man sie alle 

 als geradlinige Polygone zeiehnen. Für einen Punkt ^. der im Innern 

 von G' liegt, bestellt dann die Formel 



^■^{f(p) 



'f(x)dx 



J x — y 



Das Integral rechts ist die Summe der Integrale über die ein/einen 

 Linien L' . jedes so ausgeführt, daß G' zur Linken bleibt. Wir sehreiben 

 die (Tleichimg so: 



.f(!A=fA!/)+fAy) + --+.fAy)- 



Dabei ist : 



''f{x)äx 



das Integral erstreckt über L^. Die einzelne Funktion /^ (</) ist eine 



reguläre in dem ganzen Teil der Ebene, der nur von L,' begrenzt 



wird und auf derselben Seite von L[ liegt wie G'. Wenn man nun 



L', durch eine andere geschlossene Linie ersetzt, L'l, die zwischen L, 



imd LI verläuft, so bleibt das Integral über L'^ ungeändert, weil zwischen 



f(x) 

 Ly und L'' kein singulärer Punkt der Funktion ir = liee't. Die 



^ ^ r-y - 



Randintegrale über die Linien L,' sind demnach in bezug auf die 

 Integrationswege Invarianten: man kann sie bezeichnen als die Integrale 

 »um« die Linien L,. Jetzt dürfen wir von den Hilfslinien absehen vmd 

 sagen: es ist für alle Punkte y, die innerhalb G liegen, 



j x — y 

 das Integral erstreckt »um« die Begrenzung von G. 



Die einzelne Funktion f^{y) ist nun eine reguläre in dem Teil 

 der Ebene, der, nur von L, begrenzt, auf derselben Seite von L^ liegt 

 wie G. Man hat daher den allgemeinen funktionentheoretischen Satz: 



Jede Funktion, die in einem mehrfach berandetem Gebiete ein- 

 deutig und regulär ist, läßt sich zerlegen in eine Summe von so vielen, 

 als Ränder vorhanden sind. Jede einzelne Funktion ist regulär in dem 

 größeren Gebiete, das nur von der einen Randlinie begrenzt ist und 

 G als Teilgebiet enthält. 



Ich glaube nicht, daß der Satz ganz unbekannt ist; er folgt 

 unmittelbar aus der CAUCHYSchen P'ormel, weini man ihr die all- 

 gemeinste Fassung gibt: aber um ein Satz zu werden, muß er von 

 der Formel losgelöst werden. — Daß eine solche Zerlegung nur auf eine 

 Weise möglich ist, ist natürlich leicht zu erkennen. 



