ON THE THEORY OF NUMBERS. 123 



tained in the elaborate series of memoirs which he has devoted to this sub- 

 ject*. 



42. Complex Units. — A complex unit is a complex number of which the 

 norm is unity. If \ = 3, there is only a finite number [six] of units included 

 in the formula ±a k . But for all higher values of A, the number of units is 

 infinite. Nevertheless it is always possible to assign a system of p— 1 units 

 (putting, for brevity, |(\— l)=/u) such that all units are included in the 



formula ±a k u n ] 'u" 2 2 ....uj^i 5 in which u x , ti 2 , «< 3 , . . . ?^_i are the assigned 

 units, and k, » l5 n 2 , ...n^-i, are real (positive or negative) integral numbers. 

 A system of units, capable of thus representing all units whatsoever, is called 

 a fundamental system. The existence, for every value of X, of fundamental 



* The following is a list of M. Rummer's memoirs on complex numbers : — 



1. De numeris complexis qui radicibus unitatis et numeris realibus constant, Breslau, 

 1844. This is an academical dissertation, addressed by the University of Breslau to that of 

 Konigsberg, on the tercentenary anniversary of the latter. It has been inserted by M. Liou- 

 ville in his Journal, vol. xii. p. 185. 



2. Ueber die Divisoren gewisser Formen der Zahlen, welche aus der Theorie der Kreis- 

 theilung eutstehen. — Crelle, vol. xxx. p. 107. 



3. Zur Theorie der Complexen Zahlen, in the Monatsberichte for March 1845, or in 

 Crelle, vol. xxxv. p. 319. 



4. Ueber die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre 

 Primfactoren. — Crelle, vol. xxxv. p. 327. The date is Sept. 1846. 



5. A note addressed to M. Liouville (April 28, 1847), in Liouville's Journal, vol. xii. p. 136. 



6. Bestimmung der Anzahl nicht aequivalenter Klassen fur die aus Men Wurzeln der Ein- 

 heit gebildeten complexen Zahlen, und die idealen Factoren derselben. — Crelle, vol. xl. p. 93. 



7. Zwei besondere Untersuchungen iiber die Classen-Anzahl, und iiber die Einheiten der 

 aus Xten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen. — Crelle, vol. xl. p. 117. (See 

 also the Monatsberichte of the Berlin Academy for 1847, Oct. 14, p. 305.) 



8. Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung .r p --|-y*-=,rA. unlbsbar 

 ist, fur alle diejenigen Potenz-Exponenten X, welche ungerade Primzahlen sind, und in den 

 Zahlern der ersten ^(X — 3) Bernouillischen Zahlen als Factoren nicht vorkommen. — Crelle, 

 vol. xl. p. 131. (See also the Monatsberichte for 1847, April 15, p. 132.) This and the two 

 preceding memoirs are dated June 1849. 



9. Recherches sur les Nombres Complexes. — Liouville, vol. xvi. p. 377. This memoir 

 contains a very full resume of the whole theory, and may be read by any one acquainted 

 with the elements of the theory of numbers. 



10. A note in the Monatsberichte of the Berlin Academy for May 27, 1850, p. 154, which 

 contains the first enunciation of the law of reciprocity. 



11. Ueber die Erganzungssiitze zu den Allgemeinen Ueciprocitatsgesetzen. — Crelle vol xliv 

 p. 93 (Nov. 30, 1851), and vol. lvi. p. 270 (Dec. 1858). 



12. A note on the irregularity of determinants, in the Berlin Monatsberichte for 1853 

 March 14, p. 194. 



13. Ueber eine besondere Art aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrucke Crelle 



vol. 1. p. 212 (Aug. 31, 1854). 



14. Ueber die den Gaussischen Perioden der Kreistheilung entsprechenden Congruenz- 

 wurzeln.— Crelle, vol. liii. p. 142 (June 5, 1856). 



15. Einige Satze iiber die aus den Wurzeln der Gleichung a* =1 gebildeten complexen 

 Zahlen fur den Fall, dass die Klassenzahl durch \ theilbar ist, nebst Anwendung derselben 

 auf einen weiteren Beweis des letzten Fermat'schen Lehrsatzes. — Memoirs of the Berlin 

 Academy for 1857, p. 41. An abstract of this memoir will be found in the Monatsberichte 

 for 1857, May 4, p. 275. 



16. Theorie der Idealen Primfactoren der complexen Zahlen, welche aus den Wurzeln 

 der Gleichung w"= 1 gebildet sind, wenn n eine zusammengesetzte Zahl ist.— Memoirs of the 

 Berlin Academy for 185*5, p. 1. 



17. Ueber die Allgemeinen Reciprocitiitsgesetze unter den Resten und Nicht-Resten der 

 Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. — Memoirs of the Berlin Academy for 1859, p. 20. 

 It was read on Feb. 18, 1858, and May 5, 1859. An abstract will be found in the Monats- 

 berichte of the former year. 



A memoir by M. Kronecker (De unitatibus complexis, Berlin, 1845; it is his inaugural dis- 

 sertation on taking his doctorate) connects itself naturally with the earlier memoirs of the 

 preceding series. 



