4 Crerıe über die Theilbarkeit eines Potenzen-Polynoms 
16. F„x = (x— e,) (@— e,) [(&— e;,) F„_3x + Nz] + Nz 
= (x —e,) (x —e,) (x—e,)F,_,x + Nz 
ausgedrückt. 
Ähnlich verhält es sich weiter, wenn F,x für noch mehrere Werthe 
e<z von x mit z aufgeht. Immer müssen wieder die neuen, stets um einen 
Grad niedrigeren Polynome F,_,;x, F„_;x etc. für den neuen Werth e von 
x mit z aufgehen. 
Ist man aber so bis zu dem Polynom F,x vom ersten Grade, also 
bis zu dem Ausdrucke 
17. F„x = (x —e,) (x —e,) (x —e,) ....(@—e„_,) F,x + Nz 
gekommen, so kann das Polynom F',x, welches die Form 
1 Vo a 
haben wird, nur noch für einen einzigen Werth e, von x aufgehen; denn 
in der Gleichung 
19. ce +#m=Nz 
kann x nur einen Werth e„<z haben, was auch «,, aufser dafs es, wie 
vorausgesetzt, nicht mit z aufgeht, sonst sein mag. Also kann vermöge (18) nur 
20. Fe, ae, Hm —iNz 
sein. Zieht man diesen Ausdruck von dem (18) ab, so erhält man 
21. F x —F,e„ = Fx,—Nz = a,(x— e,), 
also 22. Fx=a,(x—e,)+Nz. 
Dieses in (17) substituirt, giebt schliefslich 
F„x = (x—e,) (x —&,) (&— 6,) .... (2 — e„_,)(a,(&— e,)+Nz) + Nz 
oder 
23. F„x = a,(@— e,) (@— e,) (x — &;) .... (x —e„) + Nz; 
welcher Ausdruck für = e,, €, &; -... €, offenbar mit z aufgeht. 
Hieraus folgt nun 
Erstlich, dafs das Polynom F,x (2) für nicht mehr als m Werthe 
Ey &gy Eye... Cm <z mit z aufgehen kann, denn ginge es für mehre solche 
Werthe mit z auf, so müfste in (17) das Polynom vom ersten Grade F,x 
noch für mehr als einen Werth von @&<z mit z aufgehen; was nicht der 
Fall ist. 
