in ganzen Zahlen durch eine beliebige Zahl. 11 
z, nicht auf, indem e, und e, beide nicht allein kleiner als z, sind, sondern 
sogar kleiner als der kleinste Theiler von z vorausgesetzt werden. 
So giebt es also immer einen Werth von n,<z, und einen Werth 
von n,<z,, aber nur einen, der der Gleichung (52) ein Genüge thut; 
denn wenn man der Reihe nach ız,, 22,, 32,,....(2,—1)z, mit z, dividirt, so 
erhält man nothwendig alle die Zahlen ı, 2, 3....2,— 1, obwohl in verschie- 
dener Ordnung, zu Resten, und zwar jede nur einmal: denn fände sich 
8) 
z.B. zweimal derselbe Rest 7, etwa für uz, und vz,, so dafs vs, = u,2,+r 
und vz, =v,2,+r wäre, so müfste 1»2,—vz, = (u,—v,)z, oder (u—v)z, 
= (u,—v,)z, sein können, und folglich müfste, da z, nicht mit z, und mit 
keinem Theiler von z, aufgeht, „—v mit z, aufgehen; was nicht der Fall ist, 
da « und v beide kleiner als z, sind. Unter den verschiedenen Resten ı, 2, 3 
....2,—1, die man findet, ist aber nun auch nothwendig die Zahl e,—e,, 
da sie kleiner ist als z,. Also giebt es immer einen, und nur einen Werth 
von n,<z,, für welchen die Gleichung (52) erfüllt wird; und folglich giebt 
es, zufolge des Ausdrucks (48) von x, da in diesem Ausdrucke e, wiederum 
kleiner ist als selbst der kleinste Theiler von z, und folglich von z,, immer 
einen, und nur einen Werth von x, der die Eigenschaft hat, dafs © — e, 
mit z, und x— e, mit z,, und folglich, wie es verlangt wird, (@—e,)(®— e,) 
mit z aufgeht. 
Alles dieses bleibt dasselbe, welche und wie viele Theiler p von z auch 
in z, sich befinden mögen, und selbst wenn s, nur einen einzigen dieser 
Theiler enthielte, ja sogar, wenn es blofs der kleinste der Theiler von z 
wäre; denn es kommt immer nur darauf an, dafs e,—e, nicht mit z, auf- 
geht; und dieses ist immer der Fall, da e, und e, beide kleiner als der 
kleinste Theiler p, von z vorausgesetzt werden. 
9. 
Will man, dafs ein Theil der Factoren p von z, deren Product wie- 
der durch z, bezeichnet werden mag, in einen der Theiler von #,x — Nz, 
z.B. in @—e,, ein anderer Theil, deren Product z, sein mag, in einen an- 
dern der Theiler von 7,x= — Nz, z.B. in x—e,, und der Rest der Theiler 
p von z, deren Product z, sein mag, in einen dritten Theiler von A, —Nz, 
z.B. inx— e, aufgehe, so muls zugleich 
B2 
