18 Creııe über die Theilbarkeit eines Potenzen- Polynoms 
Ba VE — Ba WR en — 
2 0.—2.-3.—4= 0 53 51. 49. 48. 47 = 3. 7. 48. 47. 7.17 
4 2.0.-1.—2= 0 55 53. 51. 50. 49 = 53. 3. 50. 2. 7.17 
5 3.1. 0. 1= 0 72 70. 68. 67. 66=10. 4. 67. 66. 7.47 
56. Gala are 7A 72. 70. 69. 68= 12.10.69. 4. 7.17 
19  17.15.14.13= 2.43.15. 7.47 89 87. 85. 84. 83= 87. 5. 12. 83. 7.17 
23  21.19.18.17= 3.19.18: 7.47 90 88. 86. 85. 81= 88.86. 5. 12. 7.17 
39  37.35.34.33=37. 5. 2.33. 7.17 104 402.100. 99. 98 = 6.100. 99. 14. 7.17 
40 33.36.35.34 = 38.36. 5. 2. 7.17 107 _ 105.103.102.101 = 15.103. 6.101. 7.17. 
Alle diese Werthe von F'„x gehen, wie man sieht, mit z=7.17 auf. Und 
auch für keinen andern zu z theilerfremden Werth von &<z geht 7x mit 
z auf. 
9. 
Man kann nun weiter fragen, von welchem Grade ein Polynom F,x 
mindestens sein müsse, wenn es mit allen zus=p,p,P;---- Pı theiler- 
fremden Zahlen <z aufgehen soll. Diese Frage wird sich am einfachsten 
wie folgt beantworten lassen. 
Der Grad m = p,—, wenn p, den kleinsten der Ur-Theiler von z 
bezeichnet, ist dazu für #,x niemals hinreichend. Es kann nemlich als- 
dann das Polynom F',x, welches, da A„e—Nz=Np, p, p;:-:- pı sein 
soll, eben so wohl F„x==Np, ist, nach dem bekannten Satze für Urzahlen, 
für die p,—ı Zahlen 1,2, 3....p,—ı<p, mit z aufgehen; und nach dem 
vorhin gefundenen Satze geht es alsdann nur für (p,— 1)* Werthe von x<z 
auf. Die Anzahl der zu z theilerfremden Zahlen ist aber bekanntlich 
7. DR). (Mm1); 
und diese Zahl ist, da die auf p, folgenden Theiler p,, pP, .... px sämmtlich 
gröfser sind als p,, immer gröfser als (p,—ı)*. Also reicht es, wenn F„x 
blofs erst für = 1, 2, 3....p,— 1 mit z aufgeht, in keinem Falle dazu hin, 
dafs 7x mit allen zu z theilerfremden Zahlen aufgehe. Es mufs also F',x, 
aufser für = 1, 2, 3....p,—1, auch noch für andere zu z theilerfremde 
Werthe von x, also auch noch für Werthe von x, die gröfser als p, sind, 
mit z aufgehen; und folglich mufs F,,& nothwendig von einem höheren 
Grade als p,— ı sein. 
