in ganzen Zahlen durch eine beliebige Zahl. 19 
Geht nun F,„x zunächst für 2=1, 2, 3....p,—ı mit z auf, so kann 
es, wie aus $.3. folgt, auf die Form 
85. F„x = (2 —1)(x— 2) (@— 3)... (2 —(P,—1)) Fu, + Nz 
gebracht werden. Geht hierauf das Polynom F'„x weiter für = e,, wo 
e,>p,ist, mit z auf, so ist 
59. F„e,= (,— 1) (,— 2) (&— 3)... (&— (pP, —1)) Fans a + Nz=Nz, 
und es mußs also (,—1) (,—2) (,—3) +... (.—(Ppı—2)) Fa-r,.,6, mit 
z=Pp,PzPs--..P; aufgehen. Daraus aber folgt jetzt nicht mehr, eben so als 
wenn e,<p, wäre, nothwendig, dafs F„_,,..e,, das heifst F„_,,,a für 
2 = e,, mitz aufgehen müsse: vielmehr kann jetzt, da e,>p, ist, irgend einer 
der Theiler e,— 1, e,—2, e,—3.... von F„—Nz mit p, aufgehen; oder auch 
mehrere dieser Theiler können, wenn e, grofs genug dazu ist, mit diesen 
oder jenen Theilern von z aufgehen. Es folgt dann nur nothwendig, dafs 
F'„_,,+:€ durch die übrigen Theiler von z theilbar sein mufs. Geht aber 
F,„_,,+:€, etwa wirklich nicht für sich allein mit z auf, so findet die wei- 
tere Zerlegung von F'„x für = e, in der obigen Form nicht Statt. Dann 
aber geht auch F',x überhaupt offenbar nur für weniger zu z theilerfremde 
Zahlen e mit z auf, als in dem Falle, wenn die Zerlegung fortgesetzt werden 
kann. Denn, gesetzt F„_,,,x ginge für gar keine anderen zu z theiler- 
fremden Zahlen e>p, mit z auf, so bliebe die Zerlegung bei der Form (88) 
stehen; und dann ginge F,x nur allein für diejenigen zu z theilerfremden 
Zahlen e auf, die die Verbindung der Theiler &—1, &—2, 2—3.....2x—(p,—ı) 
von F',„x — Nz gestattet; deren dann offenbar weniger sind, als Statt fin- 
den würden, wenn F'„x noch weiter zerlegbar wäre. 
Man mufs also, wenn man, wie es geschehen soll, den kleinsten 
Grad m des Polynoms Fa sucht, voraussetzen, dafs F,_,,,x auch noch 
für sich allein für =e, mit z aufgehe: es mögen aufserdem die Theiler 
&,—1, &,—2, &,—3.... von F',x — Nz mit einzelnen Theilern von z theil- 
bar sein, oder nicht. Alsdann kann die Zerlegung weiter fortgesetzt und 
und das Polynom kann auf die Form 
%. F„@e = (x — 1) (@—2) (2—3).....(@—(p,—1)) (@—e,)F,, + Nz 
AI. 
gebracht werden. Hier mufs man weiter, aus demselben Grunde wie vorhin, 
voraussetzen, dafs auch F',_, x für sich allein wieder für irgend einen an- 
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