22 CreıE über die Theilbarkeit eines Potenzen-Polynoms 
Wäre daher 
95. F„x = (x—1) (x — 2) (x—3) ....(2—p;) + Nz, 
so würde dieses Polynom offenbar für jeden Werth von x, der kleiner als z 
ist, mit z aufgehen: also auch für jeden zu z theilerfremden Werth e 
von x. Denn, gesetzt, der zu z theilerfremde Werth e, von x werde durch 
%. „=n,p,+tV, 
ausgedrückt, wo «<k und dann immer v,<p,, also auch v,<p; ist, so wird 
der Theiler x — v,, der in (95) nothwendig vorkommt, da v,<p, ist, für 
x=e, mit p, aufgehen. Denn zufolge (96) ist ,—v,=n,p,. Diese, in 
der u“ Gruppe und namentlich in der Reihe 
97. v3, u FPp > yt2Ppi> HP ER Pa + (1), 
vorkommende Zahl kommt aber auch ebensowohl in jeder andern Gruppe 
vor, z. B. in der A" Gruppe; denn sie kann ebensowohl durch 
38. ,=nPp,t+V% 
ausgedrückt werden, wo A<k und v,<p, und folglich auch v,<p; ist. Und 
also wird der Theiler e,—v,=n,p,, der in (95) ebenfalls nothwendig vor- 
kommt, da v,<p, ist, mit p, aufgehen. Und so weiter für jeden andern 
Theiler von (95). 
Das Polynom (95) geht also nothwendig für alle Werthe von x ohne 
Ausnahme, die kleiner als z sind, mit z auf. Für die zu z theilerfremden 
Werthe e von x ist aber auch sogar schon das noch um einen Grad nie- 
drigere Polynom 
99. F„x = (x—1) (2 — 2) (x—3) .... (0e— (Ppx—1)) + Nz 
dazu hinreichend, und zwar deshalb, weil in der letzten Reihe der k' 
Gruppe (94,) gar keine zu z theilerfremde Zahlen anzutreffen sind, in- 
dem die Zahlen dieser Reihe alle mit p, aufgehen. Alle zu z theiler- 
fremde Zahlen kommen schon in den p,— 1 ersten Reihen der k“" Gruppe 
vor, so dafs niemals p, von x abzuziehen nöthig ist, um irgend eine durch 
pı theilerfremde Zahl zu finden, sondern nur höchstens p,—1; weshalb 
denn der Theiler x — p, in (95) überflüssig ist. 
Es folgt also bis hierher, dafs im Allgemeinen der Grad 
100. m=p—1 
