in ganzen Zahlen durch eine beliebige Zahl. 23 
für ein Polynom, welches für alle zuz= p,p;P; ---- px theilerfremden 
Zahlen e mit z aufgeht, immer hinreichend ist. 
Er ist aber dazu auch nothwendig; denn wollte man diese oder 
jene Gruppe (94) weglassen, so würden zu z theilerfremde Zahlen vorkom- 
men können, für welche das Polynom nicht mit dem zugehörigen p aufgeht. 
Wollte man z. B. die 2" Gruppe (94,) und den dazugehörigen Theiler &— 2 
weglassen, so könnte es sein, dafs für eine in der weggelassenen Gruppe 
vorkommende, zu z theilerfremde Zahl e, in dem Producte 
101. F„@e = (x — 1) (&— 3) (&—4) ....(@—p;) + Nz 
jeder der Theiler nur mit einem der Theiler p von z aufginge, und dann 
ginge der übrig bleibende eine Theiler und folglich z in F,x nicht auf. 
Also ist zugleich m = p;—ı der niedrigste Grad für ein mit allen 
zu z theilerfremden Zahlen e aufgehendes Polynom. 
44. 
Es giebt aber nun noch eine Bedingung, welche das gefundene 
Polynom (99), so wie es ist, nicht erfüllt, nemlich die Bedingung, dafs in 
den Theilern &—1, &—2, &—3....2—(p,—ı) von F„x—Nz alle die 
Zahlen 1, 2, 3....p;— 1, neben x, ebenfalls zu zs theilerfremd sein müssen, 
damit das letzte Glied a, des entwickelten Polynoms, welches das Pro- 
duct aller dieser Zahlen ist, wie vorausgesetzt, zu z theilerfremd sein möge. 
Dieses ist in dem Polynom nicht der Fall; denn es kommen unter den Zah- 
len 1, 2, 3....px—1 z.B. nothwendig auch die p,, P;> Ps:---Px-. vor, welche 
zu z nicht theilerfremd sind. 
Es kommt also noch darauf an, ob sich statt des Products (99), ohne 
die Anzahl seiner Theiler zu vergröfsern, eine anderes aufstellen 
lasse, welches auch noch jene Bedingung erfüllt. Dieses ist in der 
That immer der Fall. Es lassen sich statt derjenigen unter den Zahlen ı, 2, 
3....P;—1, die zu z nicht theilerfremd sind, immer andere setzen, die 
es sind. 
Die Zahlen ı, 2, 3....p;—1 in den Theilern von (99) sind nemlich 
die ersten Zahlen der Reihen in den verschiedenen Gruppen (94). 
Gesetzt nun, es sei unter diesen Zahlen, A irgend eine zu z nicht 
theilerfremde Zahl < p;, die aber noch >p,_, ist: so kommt sie als erste 
