in ganzen Zahlen durch eine beliebige Zahl. 235 
vorkommt (und zwar eine einzelne Zahl, um nicht zwei, sondern nur eine 
andere Zahl statt A zu setzen) und die zugleich mit z keinen Theiler gemein 
hat. Dergleichen Zahlen giebt es in den beiden Reihen immer. Die Zahl 
?-+Pp;p:-, ist eine solche Zahl, wenn P das Product der nicht in A auf- 
gehenden Ur-Theiler von z, aufser denen p,_, und p;, bezeichnet; denn 
sie ist noch < (> — 1) pi. und hat mit s keinen Theiler gemein, weil 2, 
da es <p;_, ist, nicht mit p,_, und p, und auch mit keinem Theiler von 
Pp,pı_., Pp;p:-, aber gegentheils mit keinem Theiler von A aufgeht. Man 
kann also, ohne etwas an den Eigenschaften des Products (99) zu ändern, 
an die Stelle des Theilers & —? den Theiler 
106. &— (+ Ppı_, Ppı) 
setzen. 
Ist A die Zahl p,_, selbst, so kommt sie, obgleich nicht gröfser als 
P:-., dennoch nur einmal als Anfangszahl einer Reihe vor, nemlich in der 
Reihe 
‚107. p-» Pr-ı Po Pr-ı tt 2Pn Pı-ıt 3Pr + Pr-ı tt Fr gr ı) Pk 
in der k* Gruppe; denn die Reihe 
108. Pk-v Pr-ı FPi-» Pr-ı +2P:-n Pet 3Pi Pi + — 1) pı-, 
in der k—ı*® Gruppe kommt für die zu z theilerfremden Zahlen nicht in 
Betracht, indem sie gar keine zu z theilerfremde Zahl enthält. Es kommt 
also nur darauf an, aus der Reihe (108) eine zu z theilerfremde Zahl an die 
Stelle von p,_, zu setzen. Eine solche Zahl ist %_, + P,P2P3 + Pı-» Pı 
=pn_,+ — =, Diese Zahl ist offenbar zu z theilerfremd und kommt in der 
Reihe vor; denn der Theiler p,p,P3 +---Pı_. Ss von z ist kleiner als 
der Theiler — ı des letzten Gliedes der Reihe. Man kann also, ohne Et- 
was an den Eigenschaften des Products (99) zu ändern, an die Stelle des 
Theilers &—p;_, den Theiler 
109. x— (pı-,+ = ) 
Pr—i 
setzen. 
Es sei ferner A eine zu z nicht theilerfremde Zahl, die gröfser als 
Pı-; aber kleiner als p,_, ist, so kommt sie, als Anfangszahl von Reihen, 
dreimal und nur dreimal vor: nemlich nur in den drei letzten Gruppen 
(94), namentlich in den drei Reihen 
Physik.-math. Kl. 1839. D 
