in ganzen Zahlen durch eine beliebige Zahl. 39 
Die Zahl 3 ist der Ur-Theiler p,=3 von z= 2.3.11 selbst. Man 
mufs also, nach (109), statt X = p,_, = 3, Pr, =3+% = 25 setzen. 
Die Zahl 2 ist der Theilerp, =2vonz= 2.3.11 selbst. Man mufs 
also, nach (115), statti=p, =3, 9, +- =2+% = 3 setzen. 
Daher läfst sich das Polynom (123) in folgendes verwandeln, welches 
neben x blofs zu z theilerfremde Zahlen <z enthält, nemlich: 
124. F,0x=(x—1) (x—3) (&—3) (x — 37) (25) (217) (7) (x— 4) (231) (843) + Na; 
und dieses Polynom mufs für alle die 20 Werthe von x (122) mit z=2.3.11 
aufgehen. 
In der That ist es für die 10 Werthe 1, 5, 7, 17, 25, 31, 35, 37, 41 und 
43 gleich Null und geht also mit z auf. Für die übrigen ı0 Werthe ı3, 19, 
23, 29, 47, 49, 53, 59, 61 und 65 von x giebt es Folgendes. 
Für x ist P)x 
=13 = 12.— 22. 12.— 24.8.—4. 6.— 28. 18.- 30 = — 2.3. 11.6. 2. 12.24.8.4.6.28.18.30, 
=19 =18.-16.— 6.— 18.14. 2. 12.— 22.— 12.— 24 = + 2.3. 11. 3.16.6.18.14.2.12.2.12.24, 
=23 = 22.-12.—- 2— 14.18. 6.16.— 18.— 8.— 20=-+2.3.11.4. 2.14. 18. 6.16.18.8.20, 
=29 =28.—- 6. 4— 8.24. 12.22.—12.— 2.— 14=—2.3. 11.28. 4. 8. 24.12. 2. 12.2.14, 
=47 =46. 12. 22. 10. 42. 30. 40. 6. 16. 4 = +2.3.11.46. 2. 2.10.42.30.40.6.16.4, 
2 =49 =48. 14. 24. 12. 44. 32. 42. 8. 18.6 =+2.3.11. 8.14.24.12. 4. 32.42.8.18.6, 
=53 =352. 18. 28. 16. 48. 36. 46. 12. 22.10 = + 2.3.11.52.18.28.16.48.36.46.2.2.10, 
=59 =58. 24. 34. 22. 54. 42. 52. 18. 28.16 = -+2.3.11.58.4.34.2.54.42.52:18.28.16, 
=61 =60. 26. 36. 24. 56. 44. 54. 20. 30.18 = + 2.3.11.10.26.36.24.56.4.54.20.30.18, 
=65 =64. 30. 40. 28. 60. 48. 58. 24. 34. 22 = + 2.3.11.64.5.40.28.60.48.53.24.34.2; 
und alle diese Werthe von 7x gehen, wie man sieht, mit 3= 2.3.11 auf. 
13. 
Das für verschiedene, zu z theilerfremde Werthe von x durch z theil- 
bare, in der Form eines Products von Theilern, nemlich in der Form 
126. F„ x = (x — e,) (© — e,) (& — £,) .... (0 — e„) + Nz 
gefundene Polynom kann man auch noch zunächst dadurch vereinfachen, 
dafs man für diejenigen e, welche >4z sind, z zu x addirt; welches an der 
Theilbarkeit des Polynoms nichts ändert. Dadurch lassen sich diese e auf 
andere bringen, die <+z sind. So also läfst sich immer ein Product von 
Theilern aufstellen, in welchem alle e kleiner als 4z sind. 
