30 Crerıe über die Theilbarkeit eines Potenzen-Polynoms 
Sodann kann man, wenn man das Polynom durch Multiplication der 
Theiler entwickelt, wiederum zu jedem Gliede beliebig Nz hinzuthun, 
oder davon abziehen; welches wiederum an der Theilbarkeit des Polynoms 
nichts ändert. Also läfst sich zuletzt immer ein entwickeltes Polynom 
finden, dessen Coefficienten in allen Gliedern kleiner als 4z sind. 
Dieses Polynom ist immer noch für alle die nemlichen Werthe von x 
durch z theilbar, für welche das in der Form eines Products gefundene Po- 
lynom es ist. 
So z.B. läfst sich das Polynom (124), welches für alle zu z= 66 thei- 
lerfremden Werthe von x mit z = 66 aufgeht, zunächst in folgendes ver- 
wandeln: 
F„x = (x&—1)(& + 31)(& —3)(e + BE 5ER) T)(&+3)(c+31)(X+23), oder 
F,x = (x — 1) (@ — 5) (© — 7) (& — 17) (x — 3) (x? — 25?) (+29) (x? —31?), oder 
127. F,x=(x— 1) (x — 5) (x — 7) (x — 17) (x + 3) (x? — 31) (x + 29) (x? + 29). 
Nun ist weiter 
(2 — ı)(@ — 5))=x’— 6x5, 
48 (2 — N) (a -ır)=a’ — ia +19 = a” — 2ix — 13 + Nz, 
a (x +23) (x +9)= x + 520 #667 = x’ — ic 74 Na, 
(x? — 31) (0° + 29) = x" — 20? — 899 = x° — 20° + 25 + Na. 
Also ist 
129. F,x = (x? — 6x + 5) (x? — x — 13) (x? — 14x +7) (x® — 20? +25) + Nz oder 
130. F,x = x!’ 2x? 32° — 227 — 2° — 2x" — 2x? + 3x? + 2x — 34 Nz; 
und dieses Polynom geht für die 20 zu z = 66 theilerfremden Werthe von x 
(122) mit z = 66 auf. 
14. 
Bis hierher wurde gefunden, erstlich, für wie viele Werthe von x<z 
überhaupt, ein Polynom F,x mit z= p,P;P; ---- pı aufgehen kann, wenn 
man weifs, dafs es für m Zahlen, die sämmtlich kleiner als der kleinste Ur- 
Theiler p, von z sind, aufgeht, und dann, zweitens, von welchem Grade 
das Polynom mindestens sein müsse, wenn es für alle zu z theilerfremden 
Werthe von x <z aufgehen soll. Es läfst sich nun, in der bisherigen Vor- 
