in ganzen Zahlen durch eine beliebige Zahl. 4 
nothwendig für alle zu z theilerfremden Werthe mit z aufgehen mufs, wenn 
die Theiler P von z Urzahlen sind und der gröfste derselben in (168) 
P, ist, so ist auch noch ganz das Nemliche der Fall, wenn die Theiler P 
von z in (167) blofs unter sich theilerfremd sind und der gröfste die- 
ser Theiler der P, ist. Dieses ist leicht zu sehen. Denn es sei z.B. s ir- 
gend eine der zu z theilerfremden Zahlen <z, welche man will, so wird sie, 
weil sie mit keinem der Theiler P von z aufgehen soll, wenn man sie sich 
der Reihe nach mit P,, P,, P, .... P, dividirt vorstellt, durch 
169. s= NZ; +7, = NP,-+r, = NP, + Te. = NPerz: 
ausgedrückt werden können, wo keiner der Reste r Null, aber auch nicht 
wie angenommen, die gröfste der 
gröfser als P,— ı sein wird, und wo P,, 
Zahlen P bezeichnet. Es wird nun offenbar das Product 
170. (s—r,)(s—r,)(s—T,) .... (s — r};) 
wit allen ?, folglich mit z aufgehen. Dieses Product aber ist nothwendig 
in demjenigen (168) enthalten, weil alle r, da sie > o und< P,— ı sind, 
nothwendig unter den dort neben x stehenden Zahlen 1, 2, 3 .... P,— ı vor- 
kommen müssen. Also geht auch nothwendig 7x — Nz (168) immer mit 
z auf, welchen zu z theilerfremden Werth s auch x haben möge. Hierbei 
ist noch zu bemerken, dafs diejenigen Theiler von F,x — Nz in (168), in 
welchen neben x eine Zahl < P,—ı steht, die mit dem Producte p,p,;p;---- 
p: aller Ur-Theiler von z aufgeht, deren Anzahl durch u bezeichnet 
werden mag, überflüssig sind, indem in (169) keiner der Reste r mit 
allen den Ur-Theilern p von z aufgehen kann, weil sonst auch s mit denje- 
nigen Ur-Theilern p, die zugleich in P vorkommen, aufgehen müfste und 
also s nicht, wie es sein soll, eine zu z theilerfremde Zahl sein würde. 
Aufserdem würden sich, auf ähnliche Weise wie in dem früheren einfacheren 
Falle, statt derjenigen unter den neben x stehenden Zahlen 1, 2, 3... P,— 1, 
die nicht zu z theilerfremd sind, immer andere setzen lassen, die es sind. 
Es folgt also ohne Weiteres schon, dafs ein Polynom von der Form 
F,,x (168) und vom Grade m = P,— ı — u, wo P, die gröfste der Zah- 
len P in (167), also die gröfste der Zahlen p‘ in (166) bezeichnet, immer 
für alle zu z theilerfremden Werthe von x mit z aufgehen wird. 
Aber der Grad m = P,— ı— u dieses Polynoms (168) kann, wie 
sich zeigen wird, höher und in vielen Fällen sogar bei weitem höher sein, 
Physik.-math. Kl. 1839. F 
