42 Creııe über die Theilbarkeit eines Potenzen- Polynoms 
als es nöthig ist. Es kann noch andere Polynome F,,x von niedrigeren und 
sogar bei weitem niedrigeren Graden geben, die ebenfalls für alle zu z thei- 
lerfremden Werthe von x mit z aufgehen. 
17. 
Es werde zuerst der für diese Polynome günstigste Fall angenom- 
men. Es ist derjenige, wenn, während die Ur-Theiler p von z in (166) der 
Gröfse nach wachsend geordnet sind, nemlich so, dafs p, >p,, Ps >P;» 
Ps >P; U.s.w. ist, zugleich die Exponenten e dieser Ur-Theiler der 
Reihe nach abnehmen, also so, dafs e, >g,, 8, >&,, 8, >e, u. S. w. ist. 
In diesem Falle geht auch das Polynom 
171. F„x = (x — 1)" (0 — 2) (8 — 3) .... (0 — (p, — 2) 
(2— pP)? (ae — (pP, +) (a — (pP, FM): (a — (Pe 1))°? 
(x —P,)? (a — (pP + N) (a (PEN) (a (Ps 1) 
(2—P:-,)* (c—(Pp_, +1)" (el) (a —(pr—1))*+-Nz, 
wie sogleich wird nachgewiesen werden, ebenfalls für alle zu z theilerfrem- 
den Werthe von x mit z auf. Dieses Polynom ist vom Grade 
172. m= (pı —1)s, +(P:—Pı)ee+(ps—P2)&; ... + (MR — Pı-.)& > 
während das Polynom (168) vom Grade 
173. m=P,—ı—u 
ist; und die Zahl m (172) wird in der Regel kleiner, und häufig viel kleiner 
sein, als die Zahl m (173). 
Wäre z.B. 22° 3%. 5, 80/dalsıpj= a, p =) pa ee, 
e.,—=1, P,=2’=32, also » = ı (wegen des Theilers «— 2.3.5 = x — 0 
in (168)), so wäre in (172) m=1.5+1.3+2.1=9; hingegen in (173) 
m=32—1—1= 30, also m in (173) schon gröfser als m in (172). 
Wäre 2.5’ 7%. 11%17,\sordafe-p =, lpj np, = und p’=ır; 
=, = le,=2uund ejı, (P,=st=625,llalso aD; so wäre in 
(172) m = 4.14+2.3++4.2+6.1= 36; hingegen in (173) m = 625— 1 = 624, 
also m in (173) sehr viel gröfser als m in (172). 
