in ganzen Zahlen durch eine beliebige Zahl. 43 
Dagegen, wenn z.B. z= 2°.5 wäre, so dafs p, =2, 9,=5; &,=2, 
,=1, P,=5, also u = o ist, würde in (172)m = 1.2+3.1= 5, hinge- 
gen in (173)m =5—ı = 4, also in diesem Falle m in (173) kleiner sein 
als m in (172). 
18. 
Auf folgende Weise erhellet nun, dafs auch das Polynom (171) für 
alle zu z theilerfremden Werthe von x mit z (166) aufgeht. 
Es sei wiederum s irgend eine zu z theilerfremde Zahl, welche man 
will. Man stelle sich dieselbe der Reihe nach mit den verschiedenen Ur- 
Theilern p von z dividirt vor, so dafs s durch 
174. s=Np, +, =Np, +0, =Np,-+ 8, .... Np + 
ausgedrückt wird, so ist nothwendig 9, >o und <p,, ,>o und <p,, 
0, >ound <p,...g>ound>p;.. Alle og zugleich sind gröfser als o und 
kleiner als das gröfste p,, der Ur-Theiler von z. Also geht das Product 
175. (s—8,)(s — 22)(8 — 85) +++. (Ss — 9.) 
nothwendig mit dem durch z, zu bezeichnenden Producte 
17602. 72.9 D2P5 18.22 De 
auf. Dieses Product (175) ist aber jedesmal in dem Producte 
177. (© — 1) (x — 2) (x — 3) .... (8 — (pP; — 1)) 
enthalten, welchen zu z theilerfremden Werth s auch x haben mag, da alle 
Reste 9 in (174), was auch s sein mag, nur unter den Zahlen 1, 2,3 ....,— 1 
vorkommen können. Also geht das Product (177) nothwendig für alle zu 
z theilerfremden Werthe von x mitz, = P,P>P; »--- Pı auf. 
Werden nun in dem Producte (177) die ersten p,— ı Theiler x— ı, 
x—2, &—3...0— (p,—1!) zur Potenz e, erhoben; die folgenden p,—p, 
Theiler &—p,, z—(p, +1), 2—(pi+2) .... @—(p,—1) zur Potenz e,; 
die folgenden p,—p, Theiler &—p,, &—(p,-+1) &— (P;+2) 2 —(p;— 1) 
zur Potenz e, u. s. w., so dafs der Ausdruck von F'„x (171) entsteht, so wird 
es sich wie folgt verhalten. 
F2 
