44 Creıe über die Theilbarkeit eines Potenzen- Polynoms 
Gesetzt, irgend eine zu z theilerfremde Zahl s lasse, mit p, dividirt, 
z.B. den Rest ı, so dafs also in (174) in diesem Falle 9, = ı sein würde, 
so wird in (171) offenbar der Theiler (x — ı)* für x = s mit p,°: aufgehen. 
Läfst hierauf die nemliche Zahl s mit p, dividirt einen Rest, der gröfser 
als p, — 1 ist (obwohl nothwendig kleiner als p,) z. B. den Rest p,+A,, so 
dafs in (174) g,= p,+A, ist, wo A nicht negativ und p,-+A, nicht gröfser 
als p,— ı sein kann: so wird nothwendig irgend einer der in (171) rechts 
in der zweiten horizontalen Reihe stehenden Theiler von F,x — Nz mit 
p.;‘? aufgehen. Ähnlich wird es sich verhalten, wenn s mit p, dividirt 
einen Rest A, läfst, der gröfser als p,— ı (obwohl nothwendig kleiner als 
p,) ist. Es wird alsdann nothwendig irgend einer der in (171) rechts in der 
dritten horizontalen Reihe stehenden Theiler von F,x — Nz mit p,* auf- 
gehen. Und so weiter. Also wird F„&— Nz für x = s nothwendig mit 
Pit, Pet, P3°° +... Pr“, das heifst mit z aufgehen. 
Günstiger noch ist (für die Theilbarkeit des Polynoms durch z) der 
Fall, wenn s, mit zwei oder mehreren der Ur-Theiler p von z dividirt, 
gleiche Reste o läfst. Dies kann der Fall sein, ja es kann sogar s zu al- 
len Ur-Theilern p von z einen und denselben Rest lassen; nemlich, wenn 
sS=P,P:P5 +---Pıt+g ist, wo z.B. g<p,; welche Zahl s offenbar zu z 
theilerfremd ist. In diesem Falle geht dann schon, wenn z. B. in 
s= P,PeP5 ++ Pt, ge Ist, der erste (@— 1)‘ der Theiler von 
F,x —Nz in (171) allein mit (p,P,P; ---- px)", also um so mehr mit z 
auf. 
Jedenfalls geht also F',x (171) für alle zu z theilerfremden Werthe 
von x mit z auf. 
Aber F„x — Nz darf auch nicht weniger Theiler haben als 
(171) ausdrückt. Dieses letztere läfst sich am kürzesten an einem Bei- 
spiele sehen. Es sei z. B. z = 5‘.7”, so geht, wie bewiesen, 
F„x = (» — 1)* (@ — 2)’ (a — 3)' (a — 4) (@ — 5)° (@ — 6)’ + Nz für 
alle zu z theilerfremden Werthe von x mit z auf. Aber schon F,x 
= (& — 1)‘ (0 — 2)* (a — 3)’ (a — 4)* (@ — 5)’ (0 — 6)”, worin sich nur der 
einzige Theiler x — 3 weniger befindet, hat diese Eigenschaft nicht mehr. 
In der That ergiebt sich dann z. B. für die zu z theilerfremde Zahl >53, 
F,„x = 22°.21*.20°.19%.18?.1ı7°4+-Nz, welches nur mit 5° 7°, nicht mehr mit 
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z=5'7* aufgeht: erst wenn noch der weggelassene Theiler x — 3 = »0 
