48 Creııe über die Theilbarkeit eines Potenzen-Polynoms u. s. w. 
Die Nothwendigkeit dieser Bedingung ergiebt sich leicht aus folgen- 
der Erwägung. Gesetzt nemlich, in dem für z angenommenen bestimmten 
Falle (191) lasse irgend eine der zu z theilerfremden Zahlen s mit 11 divi- 
dirt einen Rest, der kleiner als 3, oder als 5, oder als 7 ist, z. B. den Rest 4, 
so mufs in Fa — Nz nothwendig der Theileı x — 4 nicht etwa blofs in der 
3, sondern in der 7" Potenz, eben wie 11 in z, vorhanden sein, wenn 
F,x — Nz auch mit dem Theiler 11” von z aufgehen soll. Es gehen nem- 
lich zwar alsdann allerdings auch nicht blofs der Theiler & — 4, sondern 
auch noch die ebenfalls in F,x= — Nz vorkommenden Theiler &— ı5 und 
x — 26 mit 11 auf: aber diese Theiler können schon von gröfsern Ur-Thei- 
lern als 11 in Anspruch genommen sein: z. B. x— 15 vom Theiler ı7, 19 etc., 
und © — 26 vom Theiler 29 oder 31; und für diese -hilft nicht umgekehrt 
nothwendig der Theiler x—4 aus. Also darf &—4 nicht in einer niedri- 
gern als der 7'” Potenz vorkommen; und so ähnlich die andern Theiler von 
F.x — Nz. 
Diese Bemerkungen über die Theilbarkeit eines Polynoms F,x 
= 4,2” + 4,2”"' + 4,8%”"°....+ a, mit einer beliebigen Zahl z, in dem 
Falle wenn a, und a, zu z theilerfremd sind, mögen jetzt genügen. Es 
bleibt noch zu untersuchen, für wie viele, zu z theilerfremde Werthe von 
x in dem allgemeinsten Falle von z, nemlich wenn z auch höhere Potenzen 
seiner Ur-Theiler als die erste enthält, F,x— Nz dann aufgehe, wenn m eine 
bestimmte Zahl ist, die nicht diejenige erreicht, für welche F,„x — Nz mit 
allen zu z theilerfremden Werthen von x aufgeht. Ferner, wie es sich ver- 
halte, wenn a,, oder a,, oder beide, nicht zu z theilerfremd sind; und 
noch manches Andere. Alles dieses mag aber einstweilen vorbehalten 
bleiben. 
— HE — 
