zur Bestimmung vielfacher Integrale. 63 
continuirlichen Faktor genügt werden kann. Es ist überraschend, in wel- 
chem Grade durch diese Umformung, von der man auf den ersten Blick 
sich wenig Erfolg zu versprechen versucht ist, die schwierigsten Integra- 
tionen vereinfacht werden, und wie durch dieselbe Probleme, die auf an- 
deren Wegen verborgene Kunstgriffe oder einen grofsen Aufwand von 
Rechnung erfordern, ohne Schwierigkeit und mit alleiniger Hülfe einiger 
bestimmter Integrale gelöst werden können, welche wegen ihrer Wichtig- 
keit und ihres häufigen Vorkommens längst in die Elementarwerke über- 
gegangen sind. 
s.1. 
Ehe wir dazu übergehen, die in der Einleitung beschriebene Me- 
thode zur Bestimmung oder Reduktion vielfacher Integrale auf Beispiele 
anzuwenden, wird es zweckmäfsig sein, einige allgemeine Bemerkungen 
über gewisse Schwierigkeiten vorauszuschicken, welche diese Anwendung 
. zuweilen darbieten kann. Ist 
ein vielfaches Integral, in welchem P eine beliebige Funktion der Variabeln 
&%, Y; +. darstellt und dessen Umfang wir uns durch Ungleichheitsbedin- 
gungen zwischen diesen oder auf irgend eine andere Weise bestimmt den- 
ken, so können zwei wesentlich verschiedene Fälle eintreten, welche denen 
ganz ähnlich sind, die bei unendlichen Reihen Statt finden. Setzt man näm- 
lich an die Stelle der Funktion ihren numerischen oder absoluten Werth, 
so wird das so modificirte, in demselben Umfange genommen gedachte In- 
tegral entweder einen endlichen Werth erhalten oder unendlich grofs wer- 
den. Im ersteren Falle hat das ursprüngliche Integral einen völlig bestimm- 
ten endlichen Werth, welcher von der Ordnung, worin die Integrationen 
ausgeführt werden, ganz unabhängig ist und auch derselbe bleibt, wenn man 
statt der Veränderlichen x, y, ... irgend welche neue einführt (1). Ganz 
(') Es ist hier nur von der Einführung neuer Variabeln im gewöhnlichen Sinne des 
Wortes die Rede, bei welcher Operation an die Stelle der ursprünglichen Variabeln x, y, ... 
andere >, 9, ... in gleicher Anzahl treten, welche bestimmte Funktionen der erstern sind. 
Zerlegt man hingegen jedes Element des gegebenen Integrals durch Einführung neuer In- 
tegrale in unendlich viele neue Elemente, so kann das so entstehende Integral einer höhern 
