Theorie der Dreiunddreikantner. 139 



{pc+y). Wir nehmen 4>^5 oder j>x; so ist der Beweis des Lehrsatzes 

 folgender : 



Wenn in Fig. i.Ex = ^EE, Ey = ±EE", Ez = '-EA', so ist nach 

 einer der einfachsten Anwendungen eines oft angeführten Lehrsatzes (') 



En = Em = EA; und die Linie nz parallel der einen Endkante 



des bezeichneten Dreiunddreikantners. Man ziehe aus A die Parallele y4z' 

 mit nz; so ist Ez' ^ (a:-hy)Ez = '2— -2. EA'-. und für die Neigung von Az' 

 gegen die Axe AA' wird 



sin: cos = (\—^-^~\2s: (-+-^^ c = 2{z — x—y)s: {2z + x+y) c. 

 Man ziehe ferner E'j' parallel mit xy, E'z" parallel mit xz, so wird 



En'=:xxEn=-^EA,An' = (i ~) EA = --^EA;En':An'=x:v; 



Ez"=x*Ez = ~ EA; A'z" = (i — -) EA.^ Ez" : A'z" = x:z — x; 



und die Linie z"n' wird die verlängerte Axe AA' so treffen in F (Fig. 2.), 

 dafsnach dem Lehrsatz des getheilten Dreiecks (2) FAE{a: a + h = xm'.ny), 



d. i. FA : FA' = Ez". An':En'.A'z" = x.y:x{z — x) =y:z — x 



FA:AA'=y:z-x-r: FA = — ^ AA' = '^ c; 



•^ -^ z — x—J z — x—y 



folglich ist für die Neigung der anderen (schärferen) Endkante E'F gegen die 

 Axe AA' 



sin : cos = E'piFp = 2s:(i -i r^ — ) c = 2s:- '^~'' c 



' 1^ \ z — .v—j/ z — x—y 



= 2 (z — X — y)s'.{2y+z — x)c. 

 Wenn nun für die Neigung der stumpferen Endkante gegen die Axe 



• . 2 2(z — x — r) 



sm : cos = s'.yc = — — sie 



2n—i 2z-t-x-t-y 



und für die der schärferen 



2 2(^—1 — /) 



sm : cos = Ä : 7C = -^^ -^^ s : c, 



(*) Abb. V. J. 1819. S. 277. 



C) a.a.O. u. ALh. v. 1824. S.244. Anra. - •■ 



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