üher die Brüche ~ aus ay=bx-\-\. 5* 



und 2b — 2jo und zugleicli die Nenner der Brüche ebenfalls immerfort ab- 

 wechselnd um 20,-0 — ^ u'^*^ 2a — 20^0. 



In dem Falle a = 2, wo oc^ = i ist, wachsen die Zähler der Bi-üche 

 immerfort abwechselnd um i und b — i und die Nenner immerfort abwech- 

 selnd um und 2. 



In dem Falle b'=.2, wo y^=.\=:.-^b ist, wachsen die Zähler der 

 Brüche immei-fort abwechselnd um o imd 2, und die Nenner verändern sich 

 abwechselnd um — i und a + i- 



Beweis von I. Die Bi-üche (16) sind, wenn man die Werthe ihrer 

 Zähler und Nenner setzt, der Reihe nach folgende : 



a'o' — a-f-j-Q '^ — ■*^o' ö+ao' — 2a+XQ la — Xq 'la-\-XQ — ia-^-Xp 3n — .» q 



Allgemein ausgedrückt, sind drei auf einander folgende Brüche dieser Reihe 

 folgende : 



r>Q f^6-t-/o {<x-\-\)b—ya ^^j (,«+!) &-t-jo , 



f/a-f-«o' {'J.-^\)a—Xp (}x-\-\) a-\rx a ' 



welches für )u = o, i, 2, 3. . . . alle obigen Brüche giebt. 



Die Diffei'enzen der Zähler dieser drei Brüche sind 



[■(^1+1)6— Jo— M*— Jo = b — iy-p imd 



{{\x + \)b -1- Jo— (f^ + ^ + Jo = 2ro 

 und die Differenzen der Nenner 



[(fvi + 1) a — Xp — IX a — a"o = ö — '^■Xo und 



21. |( 



l( 



.2. f 



l( 



22. ^ 



\{\x-\r\)a-\-Xp—{\x-\-\)a — Xp=L 2Xp. 



Diese Differenzen bleiben also immerfort die nemlichen für alle 

 Werthe von ju, und sie sind positiv, da für die Brüche (16 oder 19) zufolge 

 (15) /o< 4-^? also b >2j*o vorausgesetzt wird, und zufolge des dritten Satzes, 

 mit y\<i\b zugleich, Xp<i-^a, also auch a^ix^ ist. Mithin wachsen 

 gleichzeitig die Zähler und die Nenner der Brüche auf die Weise, wie es 

 der Satz ausdrückt. 



Für den Fall a = 2 ist nach dem dritten Satze ao= 1 und j-o=:4-(ö-l-i); 

 also verändern sich in diesem Falle die Zähler abwechselnd um b — 2^^ 

 = b — b — 1 = — 1 und 2j(, =: 6 + J, und die Nenner abwechselnd um 2 — 2 

 = und 2. 



