über die Brüche -f aus ay = bx-\-i. 29 



219. 2Z-TT<-, 



■t'o 



also, da immer — -< i ist (215), um so mehr 



2z — (TT <" T oder 



220. z<4r{T-i-i)T. 



Es ist also z in folgenden Grenzen eingeschlossen : 



221. Für T = 1 und t = 2 in den Grenzen z >• cr(T— i) — i (217) imd 



z<-|-(cr+i)T(220), und 



222. Für T=3 in den Grenzen z';i>a-{T — i) (218) und 



2<i(T+l)r(220). 



18.) Es sei nun zuerst x^ ^-^a, so ist vermöge (21ö) o-=: i ; denn a,, 

 ist dann in a nur einmal enthalten. Also sind in diesem Falle, wo t=:i, 

 2, 3 sein kann (211), nach (221 und 222) die Grenzen für z folgende: 



223. Für T = 1 und t = 2, z ^ t — 2 und s -< t und 



224. Für T = 3, s > T — 1 und z < t. 



Hieraus folgt zunächst, dafs t nicht = i sein kann, weil dann s <" i 

 sein müfste, z aber mindestens i ist. 



Es kann also zunächst erst t ^ s sein. Für diesen Fall sind die Gren- 

 zen von z nach (223) c>o und r;<-2. Also ist für t=2 nothwendig z = i. 



Ist T=i, welches zufolge (213 und 214) nur für a-g^-ia, also zu- 

 folge (215) für a = Xo-i-A: Statt findet, wo nun k<^x^ ist, so sind die Gren- 

 zen für z, gemäfs (217 und 220), wenn zugleich k -< 4'^o ist, z >■ (t — ))t — t 

 und z ■< ^(a- + i)T, das heifst, weil o- =: i, r = .? ist, .; >- i und z ■< 5. Also 

 ist dann nothwendig z-=2. 



Ist dagegen /i >4-^o> so sind nach (222), oder nach (218 und 220), 

 die Grenzen für z, z >■ (j — i)t und s < ^(a--i-i)T, das heifst, r; > 2 xmd 

 z ■< 3. In diesem Falle, k > -jx^, kann also t gar nicht = 3 sein, indem die 

 ganze Zahl z nicht zugleich >2 und < 3 sein kann. 



Es kann also überhaupt t nur dann = 3 sein, wenn A- < -i--'? ist; 

 und dann ist, wie sich vorhin fand, z = 2. Es mufs aber alsdann, da ver- 

 möge (207) {z + \)cc^:> (t— i)a sein mufs, (2-n)a'o> (3 — i)a, das heifst, 

 3Xo>2a, und vermöge (208) 2.2.^o<3a oder ij:o<3a sein, das heifst, es 



