über die Brüche ^ aus ay = hx + i. 51 



7 T 



Die Reihe der Brüche, welche dem Bruche — = ^ näher kommen, 

 als alle anderen je mit kleineren Zählern und Nennern, ist also hier 



•■{ 



[für ja = -1, 0, -2, +1, -3, +2, -4, +3. 



401. •{ i.i_Alli?l^iZ?^?? 



T' 12' 22' 27' 29' 39' 46' 56' 63' 



Da jCg>~-a, so kommt auch noch (355) in Betracht. Es ist nem- 

 lich hier a ^ cr(a — jt^) + A- , i: = cr(i7 — i2) + k = o-.s + k = 3.5 + 2, also 

 er = 3 und unserade. Also erhält man aus (355) den Bruch — = |^. Die- 



ser ist nur derselbe -,, welcher schon zwischen -^^ = — und -^^ = ^ liegt; 



12' x_i 5 T_2 üZ o 



also kommt kein neuer Bruch hinzu, sondern die Reihe (401) ist vollständig. 

 Drittes Beispiel. Es sei 



402. a = 31, 6 = 4i, 

 so ist 



403. a7„= 3, j„= ^; 

 denn 



404. ay = bcc -i- i ist hier 3i.4 = 41.3 + i. 



Es ist also hier 



405. jCg<:-ja und j"o < -j^ 

 und 



ifür jU = 0, 1, 2, 3, 4 — 1, — 2, — 3, — 4 

 o; = 3, 34, 65, 96, 127 — 2S, — 59, — 90, — 121.... 

 J- = 4, 45, 86, 127, 16S — 37, — 78, — 119, — 160.... 



Die hierher gehörige Reihe (145) ist also 



f 



[für jU = 0, -I, -Hl, -2, -h2, -3, +3, -4. 



407. { 4 37 45 78 86 119 127 169 



3' 23' 34' 59'' 65' 9Ö' '%' 121 ' 



in welcher Zähler und Nenner fortwährend zunehmen. 



Für IX > 1 verhält es sich wie in den vorigen Beispielen. 



Für ju = dagegen kommt, weil zufolge a = (To-^-i-k hier 3i = a-.3-i-k 

 = 10.3-4-1, also cr = io gerade ist, (239) in Betracht, und es giebt noch, 

 aufser dem Bruch ^— = x^, welcher, mit kleinerem Zähler und Nenner 



als -^-ti = -T. dem Bruche — := jr näher kommt als der Bruch •—==-, auch 



x^., 3-t' a 31 x„ i ' 



noch die Biüche 



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