duTch Jupiter, Saturn und Mai's. 63 



und sin s{g—g) fortschreitet, so erhält man lauter Glieder von den For- 

 men: 



Po cos kg' cos i(g-g'), p, sin 7^g' cos i{g-g') 



7o cos l-g' sin i(g -g') , q, sin kg sin i{g—g') 



welche, wenn man die Summen und Differenzen der Winkel einführt, 

 werden : 



t(Po-7,) cos {ig-ii-k)g') , f (7o+p,) sin {ig-(i-k)g') 

 t(Po+7.) cos (ig-(i-\-k)g') , \{q^-p^) sin (/o-_(/+A")^') 



wodurch die sämmtlichen Reihen auf die Form von cos (ig + i'g) und 

 sin {ig ± i'g) gebracht werden, wie es zur Integration erforderlich ist. 



Bekanntlich beruht die Ermittelung der Coefficienten der einzelnen 

 Glieder einer pei'iodischen Reihe, wenn man den numerischen Betrag ihrer 

 Summe für eine Anzahl von Werlhen der Winkel kennt, welche gleichför- 

 mig durch die Peripherie vertheilt sind, auf den einfachen, und durch Ein- 

 führung der imaginären Ausdrücke für Sinus und Cosinus leicht zu bewei- 

 senden Sätzen, dafs, wenn A ein aliquoter Theil der Peripherie ist, und 

 nA ^ 360° oder ein Vielfaches davon, 

 schlössen wird, die Summe sich findet: 



nA ^ 360° oder ein Vielfaches davon, wobei der Werth = mit einge 



l=:0....n-l 



1 + cosA + cos 2A . . .. -h cos (n— i)A = 5 cos (iA) = 



;=o....7i-i 

 sin ^ + sin 2^ .... + sin (7i — i)A = 5 sin (iA) = 0. 



Der erste Satz erleidet die Ausnahme, dafs für A = 0, oder = A-.360° 



i = 0....71-l 



2 cos (iA) = 71 wix'd ; die Sinusreihe ist immer gleich INull. 



Nimmt man daher als allgemeine Form einer unendlichen periodi- 

 schen Reihe an 



Z ^ a° -i- a cosz ■+■ a" cos2z...-t- a"~'cos{n — i)z ...-f- a'" cos 2n z . . . etc. 



+ 6' sin z ■+■ b" sin 2z... -i- b"'' sin (n — i)z... + 6" sin 2ns... etc. 



und bezeichnet sie durch 



Z =^^{aP cos pz) -^ 5 (b'' sin pz), 



wo p jede beliebige ganze positive Zahl bedeutet, so sei durch irgend ein 

 Mittel der numerische Werth von Z für c = 0, z = A, z = 2A...z = (n—i)A 



