124 Öffentliche Sitzung vom 27. Januar 1921 

An dieser Stelle nun taucht ein Rätsel auf, das Forscher aller 
Zeiten so viel beunruhigt hat. Wie ist es möglich, daß die Mathe- 
matik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt des 
menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so 
vortrefflich paßt? Kann denn die menschliche Vernunft ohne Er- 
fahrung durch bloßes Denken Eigenschaften der wirklichen Dinge er- 
gründen ? 
Hierauf ist nach meiner Ansicht kurz zu antworten: Insofern sich 
die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind, sie nicht 
sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nieht auf die 
Wirklichkeit. Die volle Klarheit über diese Sachlage scheint mir erst 
dureh diejenige Richtung in der Mathematik Besitz der Allgemeinheit 
geworden zu sein, welche unter dem Namen » Axiomatik« bekannt ist. 
Der von der Axiomatik erzielte Fortschritt besteht nämlich darin, daß 
dureh ‚sie das Logisch-Formale vom sachlichen bzw. anschaulichen 
-Gehalt sauber getrennt wurde; nur das Logisch-Formale bildet ge- 
mäß der Axiomatik den Gegenstand der Mathematik, nicht aber der 
mit dem Logisch-Formalen verknüpfte anschauliche oder sonstige Inhalt. 
Betrachten wir einmal von diesem Gesichtspunkte aus irgend- 
ein Axiom der Geometrie, etwa das folgende: Durch zwei Punkte des 
Raumes geht stets eine und nur eine Gerade. Wie ist dies Axiom 
im älteren und im neueren Sinne zu interpretieren? 
Ältere Interpretation. Jeder weiß, was eine Gerade ist und was 
ein Punkt ist. Ob dies Wissen aus einem Vermögen des mensch- 
lichen Geistes oder aus der Erfahrung, aus einem Zusammenwirken 
beider oder sonstwoher stammt, braucht der Mathematiker nicht zu 
entscheiden, sondern überläßt diese Entscheidung dem Philosophen. 
Gestützt auf diese vor aller Mathematik gegebene Kenntnis ist das 
genannte Axiom (sowie alle anderen Axiome) evident. d. h. es ist der 
Ausdruck für einen Teil dieser Kenntnis a priori. 
Neuere Interpretation. Die Geometrie handelt von Gegenständen, 
die mit den Worten Gerade, Punkt usw. bezeichnet werden. Irgend- 
eine Kenntnis oder Anschauung wird von diesen Gegenständen nicht 
vorausgesetzt, sondern nur die Gültigkeit jener ebenfalls rein formal, 
d. h. losgelöst von jedem Anschauungs- und Erlebnisinhalte, aufzu- 
fassenden Axiome, von denen das genannte ein Beispiel ist. Diese 
Axiome sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes. Alle an- 
deren geometrischen Sätze sind logische Folgerungen aus den (nur 
nominalistisch aufzufassenden) Axiomen. Die Axiome definieren erst 
die Gegenstände, von denen die Geometrie handelt. Scuuick hat die 
Axiome deshalb in seinem Buche über Erkenntnistheorie sehr treffend 
als »implizite Definitionen« bezeichnet. 
