48 Steiner: Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, 
HE ab Nee 7 ad= Te Nab: 
Da die Dreiecke OBF und DCA ähnlich, so ist weiter: 
9 ge = N = u — . . 
1 7 = > etc. (6.), oder 
13 = - [= e=g°=7 /a 
Wird der äufsere Winkel an der Spitze C durch ®, bezeichnet, so hat man 
cos dd, = = — , oder 
14. Vob.coo+g,—=ß. 
Diese verschiedenen Gleichungen besagen in Worten Ähnliches, wie die obi- 
gen (A.), z.B. 
„Alle Dreiecke, deren Spitzen C in der gesuchten Grenze liegen, haben 
die Eigenschaft, dafs die Gerade ö den äufsern Winkel an der Spitze hälftet; 
da/s die Schenkel a, b zu den ihnen anliegenden Abschnitten a,, b, der Grund- 
linie constantes Verhältnifs haben, wie vı—q : 1, (4) und dafs daher die 
Differenz 2a der Schenkel(b— a, oder a— b) constant ist (5.) und sich zur 
Grundlinie 24 ebenfalls wie Yı — g : ı verhält (6.), u.s.w.” Oder: 
„ Die gesuchte Grenze ist im gegenwärtigen Falle eine Hyperbel, welche 
die Endpunkte A, B der festen Grundlinie zu Brennpunkten hat, und deren 
Hauptasxe 2a sich zur Grundlinie oder doppelten Excentricität 2% verhält, wie 
1% 1—g :ı, oder deren Halbaxen «, ® und Excentricität y sich verhalten, 
wieVyı—qg:Vg:ı, (wenn ß als reell angesehen wird).” 
Für die Hyperbel enthalten die Gleichungen analoge Eigenschaften, wie 
oben für die Ellipse, was ich nur anzudeuten brauche. 
Wie man sieht mufs hier qg <ı, und also ö° > a,b, sein, wenn die 
Hyperbel reell sein soll. 
Ist insbesondere g = —, so wird die Hyperbel gleichseitig, näm- 
licha=@=-yV2, und dann treten in den Formeln und Sätzen Modifi- 
cationen ein, wie oben bei der speciellen Ellipse, bei welcher g = ı. 
Bemerkung. Die in der Aufgabe (II.) verlangte Grenze besteht 
demnach im Allgemeinen aus zwei Kegelschnitten, einer Ellipse und einer 
Hyperbel, welche confocal sind und zudem die zweite Axe 2@ gemein haben 
(abgesehen davon, dafs dieselbe für die Hyperbel imaginär ist); ihre Haupt- 
