50 Steiner: Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, 
jeden Theilungspunkt D der Ort der Spitze C des Dreiecks ein Kreis, der 
D zum Mittelpunkt und d zum Radius hat. Und daher ist klar, dafs die 
gemeinsame Enveloppe E aller dieser Kreise D die gesucht® Grenze ist. 
Jeder Kreis wird von der Enveloppe E in denjenigen zwei Punkten € be- 
rührt, in welchen er von dem ihm zunächst folgenden geschnitten wird, oder, 
wenn man sich so ausdrücken darf, in welchen er von dem mit ihm zusam- 
menfallenden (oder von sich selbst) geschnitten wird. In jedem andern Punkte 
C, wird er von einem der übrigen Kreise geschnitten, aber nur von einem. 
Jene zwei Berührungspunkte € lassen sich z.B. durch die Eigenschaft der 
Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise leicht geometrisch bestimmen. 
Es seien D und D, zwei der genannten Kreise, und F und F, seien 
ihre Ähnlichkeitspunkte: so sind diese (nicht allein zu den Mittelpunkten D 
und D,, sondern zugleich auch) zu den gegebenen Punkten A und B har- 
monisch, was leicht zu erweisen ist. Eine äufsere gemeinschaftliche Tan- 
gente Z, die also durch den äufsern Ähnlichkeitspunkt F geht, berühre die 
Kreise beziehlich in € und €,, und der diesen Punkten zunächst liegende 
Schnittpunkt der Kreise heifse C,. Bleibtnun D fest während D, ihm nä- 
her rückt, bis er endlich mit ihm zusammenfällt, so rücken die Punkte E 
und C, auf dem festen Kreise D einander auch näher, bis sie zuletzt sich in 
einen Punkt C vereinigen, welcher der verlangte Berührungspunkt ist; dabei 
fällt auch €, in C, und der innere Ähnlichkeitspunkt F,, der stets zwischen 
D und D, liegt, fällt in D. Demnach werden die zwei Punkte C, in welchen 
ein beliebiger Kreis D von der Enveloppe E berührt wird, wie folgt ge- 
funden: 
„Zu den drei Punkten A, D, B suche man den vierten, dem D zuge- 
ordneten, harmonischen Punkt F, und lege aus ihm Tangenten an den Kreis 
D, so sind deren Berührungspunkte die verlangten zwei Punkte C.” 
Zieht man aus einem der construirten Punkte C nach den Punkten 
A, D, B, F Strahlen a, d, b, f, so sind diese auch harmonisch; und dad und 
f zu einander rechtwinklig (als Radius und Tangente des Kreises D), so hälf- 
ten sie die von aund d gebildeten Winkel. Hierdurch gelangt man, für die 
Bestimmung des Orts von C, zu denselben drei Fundamentalgleichungen, 
wie bei der ersten Auflösung (II. A. 1, 2, 3.), woraus also, wie dort, folgt, 
dafs die Enveloppe E eine Ellipse sei. 
Der Kreis D kann mit der Enveloppe E reelle oder imaginäre Berüh- 
