54 Steiner: Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, 
Werden nun diese auf der Kugel beschriebenen Elemente nach der 
Richtung der Cylinder-Axe # auf die feste Ebene p projicirt, so ergiebt sich 
folgendes: 
Der Kreis P entspricht sich selbst. Dem Kreise entspricht die Ellipse 
E;, dem senkrechten Durchmesser Z entspricht die grofse Axe X von E; den 
Endpunkten X und B entsprechen die Brennpunkte A und Bvon E. Jedem 
Kreise D entspricht ein ihm gleicher Kreis D, dessen Mittelpunkt D die Stre- 
cke AB der Axe X zum Ort hat; den zwei Schnittpunkten € von D und € 
entsprechen die zwei Berührungspunkte € von D und E; den besondern zwei 
Kreisen DO, und D; entsprechen die Krümmungskreise D, und D; in den 
Scheiteln der grofsen Axe X; und überhaupt je nachdem der Kreis D den Kreis 
& schneidet oder nicht, hat D mit E reelle oder imaginäre Berührung, und 
der Schnittlinie @& der Ebenen von D und € entspricht immer die reelle oder 
ideelle Berührungssehne CC von D und E. Die Kreise 8 gehen in eine Schaar 
Ellipsen Aüber; je einem System paralleler Durchmesser &G&, der Kreise D 
entsprechen parallele Durchmesser GG, der Kreise D, deren Endpunkte G 
und @, in Je einer Ellipse X liegen; den Schnittpunkten 9 und 9, von & und 
& entsprechen die Berührungspunkte H und H, von K und E, und HA, ist 
allemal gemeinsamer Durchmesser der letztern; dem gemeinsamen Durchmes- 
ser AB aller Kreise & entspricht der gemeinsame Durchmesser AB aller Ellip- 
sen X, und die diesen beiden Durchmessern beiderseits conjugirten Durch- 
messer fallen zusammen und sind zugleich die Durchmesser des Kreises P. 
Dem besondern Kreise &, entspricht die besondere Ellipse X,, u.s.w. 
Die Verhältnifszahl oder der Coefficient q wird hierbei bestimmt durch 
g=tang‘”. 
Ist insbesondere der Winkel A = 45°, so ist g= ı, und dann wird 
E die mehrerwähnte besondere Ellipse, bei der « = Bye. 
Anstatt der Kugel können auch andere Umdrehungsflächen zweiter 
Ordnung zu Hülfe genommen werden, nämlich die Sphäroide und das zwei- 
theilige Umdrehungs-Hyperboloid. Dabei ist gleicherweise die feste Ebene 
p durch den Mittelpunkt M der Fläche und senkrecht zu ihrer Drehaxe Z 
anzunehmen. Beim Hyperboloid ist dann der umschriebene Cylinder 7 ein 
hyperbolischer, und sein Schnitt E mit der Ebene p ist eine Hyperbel, und 
ebenso werden alle Kegelschnitte X Hyperbeln, u.s. w. 
