66 Steinen: Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, 
gemein haben. Ihre Tangenten in den Scheiteln ihrer Hauptaxen berühren 
sämmtlich diejenige, 9,, unter ihnen, welche die gröfste dxe, nämlich den 
Durchmesser BB, zur Hauptaxe hat. Daher liegen die Hauptscheitel der 
$(9,9,) in einer Lemniscate, welche BB, zur Axe und M zum Mittel- 
punkte hat!” In dem Gesagten ist somit auch der Satz enthalten: „Die Lem- 
niscate hat die Eigenschaft, dafs die Summe der Biquadrate je zweier Durch- 
messer derselben, welche einen Winkel von 45° einschliefsen, constant, und 
zwar dem Biquadrat ihrer Asxe gleich ist.” 
Durch Umkehrung folgt: 
„Jede gleichseitige Hyperbel 9 (oder 9,), welche mit einer gegebenen 
Ellipse K, concentrisch ist und durch deren Brennpunkte B,B, geht, schnei- 
det dieselbe in den Ecken (©, ©,, ©,, ©,) irgend eines ihr eingeschriebenen 
Parallelogramms, oder in den Berührungspunkten der Seiten eines ihr umge- 
schriebenen Rechtecks.” Oder: 
„Die Schaar gleichseitige Hyperbeln 9, welche einen nach Gröfse und 
Lage gegebenen Durchmesser BB, gemein haben, besitzen die Eigenschaft, 
dafs die Tangenten in ihren Hauptscheiteln sämmtlich eine und dieselbe und 
zwar diejenige, 9$,, unter ihnen berühren, welche jenen Durchmesser zur 
Hauptaxe hat; dafs ihre Hauptscheitel in einer Lemniscate liegen, welche 
denselben Durchmesser BB, zur Axe hat, und da/s auch ihre Brennpunkte 
in einer Lemniscate liegen, etc.” Und ferner: „Jeder mit den Hyperbeln 
concentrische Kreis M, dessen Durchmesser gröfser als BB,, schneidet jede 
derselben in den Ecken eines Rechtecks AA’A, A, und alle diese Rechtecke 
sind einer und derselben Ellipse K,, welche die Endpunkte B und B, jenes 
Durchmessers zu Brennpunkten hat, umgeschrieben und berühren sie in sol- 
chen 4 Punkten etc” Oder: „Jede Ellipse K,, welche die Endpunkte des 
Durchmessers BB, zu Brennpunkten hat, schneidet jede Hyperbel 9 in den 
Ecken eines Parallelogramms, alle diese Parallelogramme haben gleichen 
Umfang und sind zugleich einer andern Ellipse M, umgeschrieben, welche 
mit jener concentrisch ist; u.s.w. — 
4. Die obige Betrachtung der beiden Kreisschaaren P und Q (1.u.f.), 
welche einen gegebenen Kegelschnitt A doppelt berühren, ist übrigens nur 
ein besonderer Fall von der allgemeinen Betrachtung, wo der gegebene Ke- 
gelschnitt A von solchen beliebigen andern Kegelschnitten Pund Q berührt 
werden soll, welche durch zwei gegebene Punkte a und d gehen. Denn un- 
