72 Srriner: Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, 
Eigenschaft: dafs sie unter allen der Ellipse K eingeschriebenen oder der EI- 
lipse K, umgeschriebenen gleichartigen n Ecken beziehlich den gröfsten oder 
kleinsten Umfang haben, und da/s sie unter sich gleichen Umfang haben. 
Der Leitstrahl aus einem Brennpunkt der Ellipse X nach jeder Ecke 
des nEcks N (oder N,, ....) theilt den zugehörigen Polygonwinkel in ir- 
gend zwei Theile x und y: wird die Summe der Cosinusse aller dieser Win- 
keltheile x, y mit der halben grofsen Axe der Ellipse A multiplieirt, so er- 
hält man den Umfang U des nEcks; oder in Zeichen 
U=a.xZ(cos®+cosy)=2a. 3[cos- (x +y).cos4 (= — Yy)]- 
In der oben citirten (3. Note.) Abhandlung über Maximum und Mi- 
nimum finden sich die Bedingungen angegeben, unter denen der Umfang ei- 
nes geradlinigen Polygons V, welches einem beliebigen Curven-Polygon P 
oder einer einzelnen Curve P oder einem andern gleichnamigen geradlinigen 
Polygon P eingeschrieben ist, ein Minimum oder ein Maximum wird. Den 
dortigen Sätzen sind die nachfolgenden zur Seite zu stellen. 
a. „Unter allen einem gegebenen (geradlinigen) nEck N umgeschrie- 
benennEcken kann der Umfang nur bei demjenigen, N,, ein Minimum sein, 
welches die Eigenschaft hat, dafs in Betracht jeder Seite desselben das aus 
der in ihr liegenden Ecke desn Ecks N auf sie errichtete Perpendikel mit den 
beiden Strahlen, welche die an dieser Seite liegenden Aufsenwinkel des n Ecks 
N, hälften, in einem Punkte zusammentrifft.” 
Mag auch die Construction des nEcks N, schwierig sein, so ist dage- 
gen, wenn umgekehrt dasselbe als gegeben angenommen wird, alsdann das- 
jenige nEck N, welchem es mit kleinstem Umfange umgeschrieben ist, sehr 
leicht zu construiren, wie aus dem Satze selbst erhellet. 
ß. „Unier allen einem gegebenen Curven- Polygon P, oder einer ein- 
zelnen gegebenen Curve P umgeschriebenen geradlinigen Polygonen P, von 
gleicher Seitenzahl, kann nur bei demjenigen der Umfang ein Minimum sein, 
welches die Eigenschaft hat, dafs in Betracht jeder Seite desselben die Nor- 
male in ihrem Berührungspunkte mit den beiden Geraden, welche die der Seite 
anliegenden Aufsenwinkel des Polygons P, hälften, in irgend einem Punkte 
zusammentrifft.” 
Diese beiden Sätze (« u. ß) finden übrigens auf analoge Weise auch 
für die sphärischen Figuren statt. 
