E. Lanpau: Verallgemeinerung des Pıcarnp’schen Satzes. 1119 
Zum Schluß ($ ı1) wird gezeigt werden, daß aus jener Eigen- 
schaft der ganzen rationalen Funktionen unmittelbar der Pıcarnsche 
Satz für beliebige ganze transzendente Funktionen folgt. Dies wird 
übrigens leicht dargetan werden können; das wesentliche Resultat 
der folgenden Arbeit liegt also nicht etwa darin, daß nachgewiesen 
wird, der Pıcarvsche Satz folge aus einer gewissen Eigenschaft der 
ganzen rationalen Funktionen, sondern darin, daß diese als richtig 
nachgewiesen wird. Wenn es also einem späteren Forscher gelingen 
wird, diese Eigenschaft direkt (d.h. ohne Benutzung der Theorie der 
analytischen Funktionen) zu beweisen, so wird sich dadurch ohne 
weiteres ein neuer Beweis des Pıcarpschen Satzes ergeben, welcher 
viel kürzer ist als jede bisherige Beweisanordnung. 
Es ist keine Einschränkung, die beiden Konstanten a und 5 von 
vornherein gleich 0 und 1 anzunehmen; denn wenn (x) in einem 
gewissen Gebiete die Werte a und db nicht annimmt, so nimmt 
in jenem Gebiete die Werte 0 und 1 nicht an. 
Ferner darf in 
F(x) = oa +0 +: +a„a® + :-- 
a, als von Null verschieden angenommen werden; denn für eine nieht 
konstante Funktion F(x) ist .F’(x) nicht identisch 0, so daß sich 
durch eine Substitution 2 = x +« stets erreichen läßt, daß der Koeffi- 
zient der ersten Potenz der Unbekannten nicht verschwindet. Endlich 
ist es keine Einschränkung, a, von 0 und 1 verschieden anzunehmen, 
da anderenfalls bereits F(0) einem der Werte 0 und 1 gleich ist. 
Der Pıcarvsche Satz läßt sich also auch folgendermaßen aus- 
sprechen: Wenn eine ganze transzendente Funktion 
Fa) = ao +mC + +: ++: 
gegeben ist, in welcher &0,,#1,qa-=F0 ist, so gibt es 
eine Zahl x, welche der Gleichung 
(1.) F(z)(1- F(«)) = 0 
genügt. 

Das Neue, welches ich in der vorliegenden Arbeit diesem Satze 
hinzufüge, besteht in der unerwarteten Tatsache: 
Es gibt eine nur von a, und a, abhängende, also von 
allen folgenden Koeffizienten @,,a,,:--,qa,,.-- unabhängige 
Zahl R=R(a,,a), so daß im Kreise |x|<R mindestens eine 
Wurzel der Gleichung (1) liegt, d.h. mindestens ein z, für 
welches F(x) einen der beiden Werte 0 oder l annimmt. 
