1120 Gesammtsitzung vom 21. Juli. — Mittheilung vom 14. Juli 1904. 
Dieser Kreis enthält also für jede ganze transzendente Funktion 
aus der unendlichen Schar mit beliebigen a,,a,,--- mindestens eine 
Wurzel der zugehörigen Gleichung (1). Hierbei werden, wie aus- 
drücklich bemerkt sei, die ganzen rationalen Funktionen mit zu den 
ganzen transzendenten Funktionen gerechnet, so daß auch für jene 
der Satz bewiesen werden wird. 
Andererseits werde ich noch mehr beweisen, als in dem obigen 
Wortlaut ausgesprochen wurde. Der Beweis des Satzes wird nämlich 
folgendermaßen angeordnet werden. Erst gebe ich den Wert der 
Zahl R in ihrer Abhängigkeit von a, und a, explizite an; dann mache 
ich die Annahme, daß für alle x, deren absoluter Betrag <R ist, 
F(a)(1- F(a)) + 0 
ist, und leite daraus einen Widerspruch her. Bei diesem ganzen 
Beweise mache ich nun aber an keiner Stelle davon Gebrauch, daß 
F(x) eine ganze transzendente Funktion ist, sondern nur davon, daß 
die Potenzreihe 
++ + mat 
für || <R = R(a,, a,) konvergiert, d.h. daß die durch sie definierte 
analytische Funktion F(x) für ler regulär ist. Jede für ale 
reguläre Funktion nimmt also in jenem Kreise mindestens einen der 
beiden Werte 0, 1 an, falls 
F(0) ln F’'(0) a 
ist. Also: 
Wenn man die Gesamtheit der im Punkte «= (0 regu- 
lären Funktionen F(x) betrachtet, für welehe F(0) einen und 
denselben Wert a, hat (der von O0 und | verschieden ange- 
nommen wird) und F’(0) einen und denselben Wert a, (der 
von 0 verschieden angenommen wird), so gibt es eine feste 
,ahl R=R (a,,a) = R(F(0), F’(0)) — die also von F”(0), F”(0), 
-, F%X0), :- unabhängig ist — so daß im Kreise |x|<R jede 
dieser Funktionen F(x) entweder eine singuläre Stelle hat 
oder einen der beiden Werte 0,1 annimmt. 
Um nur die elementarsten Sätze der Funktionentheorie als be- 
kannt vorauszusetzen, will ich in $ ı einen von den HH. Hapamarn 
und Borer herrührenden Hilfssatz mit Beweis voranschieken. In 
.S$ 2—9 werde ich dann den allgemeinen, oben ausgesprochenen Satz 
beweisen, und zwar werde ich zeigen, daß die folgende Größe! R 
den Anforderungen des Satzes genügt: 
! Da es nur auf den Nachweis der Existenz eines R ankommt, wird kein Wert 
darauf gelegt, R tunlichst klein zu wählen. 
