E. Lanvpau: Verallgemeinerung des Pıearn'schen Satzes. 1121 
W,k,h,%k seien die durch die Relationen 
eine Zn m, 
le=on er äertr.. -a<k<r 
eindeutig bestimmten, nur von a, abhängenden vier reellen Größen. 
? bezeichne die kleinste Zahl, welehe den folgenden fünf Ungleich- 
heitsbedingungen genügt: 
(2.) ee . G+]#] #217), 
on 1>2([l+1K), 
(4) 1 > log (A? +100)+9, 
(5) 1 > [log(ie + l2)|+ 8, 
(6.) a DH TA 
1a| 
Endlich werde 
(7-) RB (22) 
gesetzt; dann ist R eine wohlbestimmte, nur von «a, und a, abhängige 
positive Größe, wie es der Satz verlangt. 
Übrigens läßt sich, wie ich in $ 10 zeigen werde, auch der 
Pıcarpsche Gedankengang (Anwendung der Theorie der Modulfunk- 
tion) dazu benutzen, um den allgemeineren Satz zu beweisen: doch 
gebe ich der längeren, in den $S$ ı—9 enthaltenen Beweisanordnung 
den Vorzug, weil sie von der Theorie jener speziellen Transzendenten 
keinen Gebrauch macht. 
un 
-_ 
Es sei 
ee) = aa a en rc 
eine mindestens für |x|<s konvergente Potenzreihe. Für jedes den 
Bedingungen 0O<r<s genügende r bezeichne M(r) den größten Wert 
von |g()| auf dem Kreise |@| = r, Wr) den größten Wert von 
Ny(a) und —B(r) den kleinsten Wert von Ng(z) auf jenem Kreise. 
Dann ist bekanntlich, wenn (x) nicht konstant ist, für O-P<g<s 
Mp)<NM(q), Up) <Ug), BP)<BgN.- 
Mit anderen Worten: M(r), Ar) und Br) wachsen für O<r<s 
zugleich mit r. 
An Stelle von Ar) und ®(r) führe man zwei Funktionen A(r) 
und D(r) dureh die Definition 
A(r) = Max. (0 ‚Afr)), B(r) — Max. (0, %(r)) 
ı 7° +%° ist nicht 0, da sonst A=0, k=0, 1—-a,=1, also a,=0 wäre. 
