E. Lanpau: Verallgemeinerung des Pıcarv’schen Satzes. 1131 
ist), so werde eine beliebige der in der Umgebung von a, gültigen 
Entwickelungen 
‚y)=c©+ c(y— a) Ir c(y— a)” Ste 
zugrunde gelegt: hierin ist c, von 0 verschieden, da die Modulfunktion 
(die Umkehrung von v()) bekanntlich eindeutig ist. Die Koeffizienten «, 
und c, hängen nur von a, (nicht von a,,a,,:::) ab. Jede Bahn der 
y-Ebene, welche von «a, zu % zurückführt und sieh ohne Über- 
schreitung eines der Punkte y= 0, y=1lin a, zusammenziehen läßt, 
führt v(y) wieder in seinen Wert c, zurück. 
Wenn nun a,+0 angenommen wird, verstehe ich unter R die 
folgende Zahl: 
(43.) = IHlchs N) = 
2 
|e''cıa: | 
und behaupte: jede mindestens für 


ergente Potenzreihe 
y= Fa) =a+a2X + +40" +:* 
hat im Kreise |x|<R mindestens eine Nullstelle oder Einsstelle. 
Gesetzt, das sei nicht zutreffend, und F(x) sei in jedem Punkte 
dieses Kreises von 0 und 1 verschieden: dann betrachte ich die Funktion 
= #(%)), 
wobei ich von dem Werte @(0) = v(F(0)) = v(a,) = c, ausgehe und 
diejenige, in einer gewissen Umgebung von @ — 0 gültige Potenzreihe 
betrachte, welehe durch Umordnen von 
o+alme ++. )+olm2+mR°+ "+ —o+GGCH+ d,x?® + d30°+ ++» 
entsteht. Ich behaupte, daß diese Potenzreihe mindestens für |e|<R 
konvergiert; dazu ist nur zu zeigen, daß die durch sie definierte Funk- 
tion bei beliebiger Bahn in jenem Kreise fortsetzbar ist. In der Tat 
entspricht jeder solchen Bahn ein Weg in der y-Ebene, welcher durch 
keinen der Punkte y= (0 undy=1 geht: jeder geschlossenen Kurve 
innerhalb des Kreises icht eine geschlossene Kurve in 
der y-Ebene, welche sich ohne Überschreitung eines der Punkte y =, 
y= | zusammenziehen läßt. 
Da nun 


G(@)— v(F(«)) —= o+Ch® + da? + »-- 
für 


ergiert und da stets der Koeffizient des imaginären 
Teiles von v(y) = v(F(x)) positiv ist, so ist die Potenzreihe 
iG(x i ic+ die? .. Cpt i . 2 
H(«) En (2) rn eo +ceja]ic+datuc®+e eG i ® ee in + 8° + acht 
für |@|< R konvergent, und es besteht für alle diese © die Ungleich- 
heitsbedingung 
| H(x zu = — eRÜiE) <]: 
