ScHortkyY: Über den Pıcarp’schen Satz. 1249 
und durch Vertauschung von w mit —w: 
>) w .. 
1 =1>]% für |w|<ı. 
e 
Es ist daher, wenn lw|<ı ist: 
e® 
w 
log|t|< 2 — log |w]|; 
und da log|w]| der reelle Theil von log(w) ist, a fortiori: 
log|t| < 2 + |log (w) 

’ 
gleichviel, wie der imaginäre Theil dieses Logarithmus gewählt ist. 
— Damit ist Satz III vollständig bewiesen. 
SE 
" Jetzt möge eine Function z angenommen werden, die sich in der 
Fläche X wie eine rationale verhält und drei gegebene Werthe a,b, c 
in keinem Punkte der Fläche annimmt. Über das Verhalten von 2 
ausserhalb des Kreises setzen wir nichts voraus. 
Wir bilden zunächst die sechs linearen Functionen von 2, die 
für 2=a,b,c in irgend einer Reihenfolge die Werthe 0, I,c0o an- 
nehmen: 
T: 
2a c—hb 


Fe c—a = (2, a, b, 6), usa: 
und hiervon die Logarithmen: 
IE Io2.(2,@, 0,6), log (z,b,a, ce), u.s.£. 
Die erste Reihe besteht aus sechs Functionen von x, die in der 
Fläche X regulär sind und ebensowenig die Werthe o, ı wie den 
Werth oo annehmen. Die zweite Reihe enthält wegen der Vieldeutig- 
keit des Logarithmus unendlich viele Functionen. Alle sind regulär 
und verschwinden an keiner Stelle von X; denn aus einer Gleichung 
log(u) =o würde v=ı folgen. Aber die redueirten Werthe dieser 
sechs Logarithmen sind in jedem Punkte von X völlig bestimmte von 
o verschiedene Grössen, und die absoluten Beträge davon sind paar- 
weise einander gleich, weil 
(BRaHbach (ErbRare— 1 
ist. Wir denken uns für den Mittelpunkt x, diese absoluten Beträge 
der redueirten Werthe aufgestellt und bezeichnen den kleinsten der 
drei positiven Werthe, die man so erhält, mit n. Wir können dann 
sagen, dass im Punkte x, jede der unendlich vielen Functionen der 
zweiten Reihe absolut genommen grösser oder gleich n ist. 
