1252 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 27. October 1904. 
Wir wollen hieraus eine Ungleichung herleiten, die die Grössen 
M und M’ gar nicht enthält. Zu diesem Zweck stellen wir uns einen 
dritten Kreis um x, vor, dessen Radius r” das geometrische Mittel 
zwischen r und r’ ist, und bezeichnen mit M” das Maximum der 
Grössen \(; GENDE | u.s.f. in der von diesem mittleren Kreise um- 
schlossenen Fläche. Wendet man die erste Ungleichung an auf den 
kleineren und mittleren, die zweite auf den mittleren und grösseren 
Kreis, so ergiebt sich: 


N’ <r+gq.log(M”), 
> 2N-+1 
log (M’)<r+2+ 24.108 (2), 
Yn 
wo 
r"+r' r+r" 
g; =——’ Per a Pt 
ist. Da r” das geometrische Mittel zwischen r und r’ ist, so sind 
beide Quotienten einander gleich; der gemeinsame Werth ist: 
Ip {o} 
Vr+Yr'  r+r'+2Yrr’ 
Vr—Vr r—r' : 

Dieser Werth ist kleiner els 29, da aVrr’ <r-+r’ ist. Wir er- 
halten demnach: 
N’<#®+ 2glog (M”), 
2N 
log (M”’)<r+2-+4glog (>) a 
Die erste dieser Ungleichungen schreiben wir so: 
2N +1<27+1+4glog(M”). 
Sie wird verstärkt, wenn wir zu dem constanten Gliede 27 +1 
den Factor g hinzufügen: 
2N’+1<g(2r+1+ 4log(M")). 
Der zweiten geben wir dann die Form: 
27 +1+4log(M”) < 67-+9-+ 16qlog ( —— 
oder, wiederum verstärkt: 
5 <a(97+9+ 10108 (* =). 
