Scuorrky: Über den Pıcarp’schen Satz. 1257 


} 32w 
| ee = 
Vn 
oder: 
29 
RZ 
Vn|x (a) 
Dass eine solehe Function 2, die zwei Werthe a, b in der Ebene 
nirgends annimmt, jeden dritten Werth e in unendlich vielen Punkten 
annimmt, folgt zwar nicht direct aus dieser Betrachtung, lässt sich 
aber leicht zeigen. Denn nehmen wir an, es existire eine Function 2, 
die sich in der ganzen Ebene wie eine rationale verhält (abgesehen 
von dem unendlich fernen Punkte), und die zwei Werthe a,b gar 
nicht, einen dritten e nur in einer endlichen Anzahl von Punkten 
annimmt. Bilden wir dann 
indem wir den Logarithmus irgendwie fixiren, so wäre dies eine trans- 
cendente ganze Function, die einen der unendlich vielen Werthe 2A ri 
nur annehmen könnte in denjenigen Punkten, wo 2=c ist. Es würde 
also unendlich viele Werthe geben, die die Function A niemals an- 
nimmt. 
Von einer Function 2, die nicht rational ist, sich aber in der 
Nähe jeder endlichen Stelle = «a wie eine rationale verhält, kann 
man sagen, dass für sie der Punkt «= co ein wesentlich singulärer 
ist. Durch eine lineare Transformation der Variabeln wird bewirkt, 
dass an die Stelle des Werthes «= & ein endlicher tritt. Der PıcArp- 
sche Satz lässt sich demnach auch so aussprechen: Für eine Func- 
tion 2, die nur eine wesentlich singuläre Stelle besitzt, giebt es höch- 
stens zwei Werthe, die z niemals annimmt. 
Functionen mit nur einer wesentlich singulären Stelle sind noth- 
wendig eindeutig. Dagegen können Functionen mit zwei wesentlich 
singulären Stellen, x, und &,, unendlich -vieldeutig sein. Trotzdem gilt 
auch für sie der Pıcarn’sche Satz. Denn durch Einführung der neuen 
Variabeln 
ze lial =— 
gehen sie über in eindeutige Functionen von 2, die nur die eine we- 
sentlich singuläre Stelle z = 00 besitzen. 
Indessen, der Pıcarnv’sche Satz reicht weiter. Es kommt gar 
nicht an auf das Verhalten der Function z in der ganzen Ebene, son- 
