58 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 27. October 1904. 
dern nur auf ihr Verhalten in der Umgebung eines Punktes. Ich will 
den Satz so eitiren, wie ihn Hr. Pıcarn ausgesprochen und bewiesen 
hat in seinem Traite d’Analyse, Bd. III, S. 354: 
V. Wenn F(z) eine Function von z bezeichnet, eindeutig 
in der Umgebung eines Punktes z2=a, der für sie ein iso- 
lirter wesentlich singulärer Punkt ist, so kann es nicht ein- 
treten, dass die drei Gleichungen 
eV Area: 
nicht zusammen eine unendlich grosse Anzahl von Wurzeln 
in der Umgebung von a haben, wenn man mit A,, A,, A, drei 
verschiedene Öonstanten bezeichnet. 
Wir können dem Satz auch folgende Form geben: 
Wenn eine Function z von x eindeutig definirt ist für ein Ge- 
biet @., mit Ausschluss eines oder mehrerer innen liegender Punkte, 
wenn ferner, abgesehen von diesen Punkten, z in diesem Gebiet sich 
überall wie eine rationale Function verhält und drei Werthe a,b, ce 
nirgends annimmt. so verhält sich z nothwendig auch an den aus- 
geschlossenen Punkten wie eine rationale Function. 
Dies wollen wir jetzt mit Hülfe des vierten Satzes beweisen. Nehmen 
wir der Einfachheit wegen an, dass einer der ausgeschlossenen Punkte 
der Punkt <= 0 sei. Wir beschreiben um ihn eine Kreislinie Z mit 
dem Radius r, und zwar nehmen wir r so klein an, dass auch ein 
eoncentrischer Kreis mit doppelt so grossem Radius ganz in das Ge- 
biet @ fallen, und keinen der übrigen ausgeschlossenen Punkte um- 
schliessen würde. Das Gebiet innerhalb Z, mit Ausschluss des Null- 
punktes, nennen wir Ä: es wird durch die Ungleichung 
or 
definirt. In diesem Gebiete X, und auch in der grösseren Kreisfläche 
mit doppeltem Radius, den Mittelpunkt ausgeschlossen, hat nach un- 
seren Voraussetzungen 2 den Charakter einer eindeutigen rationalen 
Function und nimmt keinen der drei Werthe a,b,c an. 
Wenn wir wie früher die Logarithmen der 'Doppelverhältnisse 
(z,a,b,c) bilden und allgemein mit A bezeichnen, so sind dies im 
ganzen Gebiete @ (die ausgeschlossenen Punkte rechnen wir nicht zu 
G) reguläre Functionen, die nirgends den Werth o annehmen; aber 
es sind nicht nothwendig eindeutige Funetionen, auch nicht in dem 
kleinen mit Ä bezeichneten Gebiete. Jede Funetion A(x) kann sich 
auf einer geschlossenen Linie, die den Nullpunkt umgiebt, um ein 
Vielfaches von = 2ri ändern. Aber der reducirte Werth einer Func- 
tion A(x) ist in jedem Punkte von @ ein völlig bestimmter und von 
o verschiedener. 
Ed 
