Scerorrky: Über den Pıcarn’schen Satz. > 1259 
Verfolgen wir diese reducirten Werthe der Funetionen A längs der 
Linie Z, in der positiven Richtung dieses Kreises, so können Dis- 
eontinuitätsstellen auftreten, in denen. bei einer oder mehreren der 
Functionen A, der imaginäre Theil des redueirten Werths plötzlich von 
+ ri zu — ai übergeht, oder umgekehrt. Die Anzahl dieser Punkte 
nennen wir A; sie ist notwendig eine endliche, wegen des regulären 
Charakters der Functionen ?. Diese A Punkte, von denen wir einen’ 
als den ersten ansehen und mit «, bezeichnen, theilen die Peripherie 
in A Intervalle. Wir denken uns durch « vom Nullpunkt aus eine 
gerade Linie L’ gezogen. Solange diese Linie nicht überschritten 
wird, sind die Funetionen A in der Fläche Ä, und auch in der Kreis- 
fläche mit dem doppelten Radius, eindeutige Functionen. 
In den einzelnen Intervallen der Kreislinie Z ändern sich die re- 
dueirten Werthe der A stetig; die absoluten Beträge dieser redueirten 
Werthe ändern sich aber auch stetig beim Übergang von einem Inter- 
vall zu dem nächsten. Denn der reelle Theil bleibt stetig, der ima- 
ginäre Theil geht, wenn er unstetig ist, von einem Werthe &ri zu 
lem entgegengesetzten über, so dass sein Quadrat ebenfalls stetig ist. 
Wir können demnach sprechen von dem Minimalwerth, den die ab- 
soluten Beträge der redueirten Werthe der Functionen A auf der ganzen 
Kreislinie Z haben, und diesen Minimalwerth 'bezeichnen wir jetzt mit n. 
Damit ist eine sicher positive Grösse definirt, von der Folgendes 
eilt: Wenn wir irgend einen Punkt x, der Linie ZL in’s Auge fassen, 
und irgend eine der Functionen A(x), so ist der absolute Betrag von 
?(x,),. und auch der des zugehörigen reducirten Werthes, grösser oder 
gleich n. 
Wir denken uns jetzt die Functionen A(2)= log(z, a,b, c) ge- 
nauer definirt, indem wir festsetzen, dass ihre Werthe im ersten Inter- 
vall der Kreislinie Z reducirte sein sollen. Wir haben dann nur sechs 
verschiedene Functionen A. Nehmen wir eine davon. Im ersten Inter- 
vall von Z hat A einen redueirten Werth. Im zweiten kann sich A von 
dem redueirten offenbar nur unterscheiden um 28, ri, wg, =—I,O 
oder I ist, im dritten um 28, ri+ 2£,ri, wo von eg, dasselbe gilt, u.s.f£. 
In jedem der A Intervalle kann sich demnach A(x) von dem zuge- 
hörigen redueirten Werth nur unterscheiden um eine Grösse 2A’ ri, wo 
die ganze Zahl Ah’ absolut genommen kleiner als A ist. Kehren wir 
vom letzten Intervall durch den Punkt c, in das erste zurück, so kann 
sich die Function A(&) um 2kri geändert haben; aber es muss auch 
k absolut genommen kleiner oder gleich A sein. 
Bilden wir die Differenz 
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1(2) — klog = =d(, 
o 
Sitzungsberiehte 1904. 107 
