Fuchs: Über Relationen zwischen Integralen. 1079 



Betrachten wir z. 15. die Differentialgleichung 



, tili 



wenn y , u die Werthc von y. -- =. y' in :., bezeichnen. Fül 



• dz 



: = *, ist 



(7) y, = y '^« ' ". y[ = y' -f"" ' \ 



und umgekehrt, 



0) y = //,'" ! ' ' • //,! = y,'"""' " ' • 



Der Grund hiervon ist der. dass QJannichfaltigkeiten complexer 

 Variablen höherer als erster Ordnung gegenseitig eindeutig auf ein- 

 ander bezogen sein können, ohne gegenseitig rational ausdrückbar 

 zu sein: wie auch schon Hr. Picard 1 bemerkt hat. 



Besondere Schwierigkeiten verursachen auch bei den Differential- 

 gleichungen höherer Ordnung diejenigen mit den Anfangswerthen 

 stetig verschiebbaren singulären Punkte, in welchen die Integrale 

 sich zwar nicht verzweigen, aber unbestimmt werden. Allein solche 

 singulare Punkte dürfen nicht ausgeschlossen werden, wenn nur die 

 Verzweigungspunkte fest sein sollen. 



Dass es übrigens Differentialgleichungen höherer Ordnung giebt, 

 denn [ntegrale nur feste Verzweigungspunkte besitzen, und deren 

 Integration höhere Transcendenten liefert, folgt schon aus dem Um- 

 stände, dass diejenigen Differentialgleichungen, welche durch ein- 

 deutige Functionen vollständig integrirbar sind, zu der Classe derer 

 gehören, deren Integrale mit den Anfangswerthen nicht verschieb- 

 hare Verzweigungspunkte haben. Dass es aber Differentialgleichungen 

 höherer Ordnung giebt, welche durch eindeutige Functionen höherer 

 Natur vollständig integrirbar sind, dafür hat schon Hr. Picard 2 das 

 Beispiel der Differentialgleichung dritter Ordnung angeführt: 



(e) C 2 [CC® 4- 3C'C ,2) ] = (C (2) ) s [i6C3C (2) 4-i), 



1 Coinptes Rendus tte l'Arad. de Paris, .lanvii 



- \. :i. 0. 



