Fi min: Über Relationen zwischen Integralen. 1081 



F(a) 

 Bezeichnen wir einen bestimmten der Werthe von -=- — - mit — o und 



Aus diesem Resultate können wir folgende Schlussfolgerung fciehen. 



F{*) 

 FM 

 lixiicn ein Integral der Gleichung (A) \z,y, ' I durch die Anfangs- 



werthe (*,«,, £), so ergieht sich aus Gleichung (i), dass jedes Werthe- 



|i;i,-ir (--, . //,). welches aus den Gleichungen (3) und (4) bestimmt wird, 



zusammen mit dem durch Differentiation der letzteren Gleichungen 



unter Voraussetzung constanter Werthe von y,y, — erhaltenen zu- 



liefert . welches die Anfangswerthe (7. 7, , £,) besitzt. Hierbei bedeutet rj 



'/'/, ilij », 



den \\ ertli von * für z = et, y = et l , ^ = o, z l = y , y x — y, . 

 dz t dz 



Ist andererseits (~.y. ' 1 ein Integral der Differentialgleichung 



gehörigen Werthe von ' ' ein nettes Integral ( z, , y t , — ~ ) der Gleichung (A) 



M-t) 



(A') F l (z)äz + F I (y)dy=o, 



mit denselben Anfangswerthen wie das vorige, so ergieht jedes YVcrthc- 

 ptiar (;, . _//,). welches aus den Gleichungen (3) und (4) bestimmt wird. 



zusammen mit dem wie oben erhaltenen Werthe von - - ein neues 



dz, 



Integral der Gleichung (A') s welchem gleichfalls dieselben Anfangs- 



werthe, wie im vorigen Falle, zukommen. 



Wir können diese Schlussfolgerung kurz in dem Satze zusammen^- 

 fassen : 



Ist F(z) der Differentialquotienl eines ABEi/sehen Inte- 

 grals erster Gattung vom Rangep=2, so sind die Elemente 

 eines mit beliebig vorgeschriebenen Anfangswerthen be- 

 hafteten Integrals ( z. . w. . -' ' ) der Differentialgleichung (A) 

 V ' dzj 



algebraische Functionen der Kiemente eines einzelnen durch 

 seine Anfangswerthe bestimmten Integrals derselben Diffe- 

 renz ia Igle ich ung. 



Dieselben algebraischen Functionen bestimmen die Ele- 

 mente eines beliebigen Integrals ( z t , y t , ' ' ) der Gleichung (A') 



, ls („ y ,,|) 



durch diejenigen eines bestimmten Integrals I ~ . // . ' I der* 



selben Gleichung, wenn F t (z) ein zu derselben RiEMANN'schen 

 Fläche gehöriger, von F(z) linearunabhängiger Differential- 

 quotienl eines Integrals erster Gattung, bedeutet. 



