1082 Gpsammtsitzitng Vom 15. DecenAefi 



Dieser Satz erscheint als die natürliche Ausdehnung desjenigen, 

 welchen Euler für den Fall, dass F(z) den reciproken Werth der 

 Quadratwurzel einer ganzen rationalen Function vierten Grades dar- 

 stellt, ausgesprocheil hat. Und dieser Umstand rechtfertigt schon 

 die von uns oben gegebene Definition des Integrals einer Differential- 

 gleichung. 



2. 



Wir wollen nunmehr ein analoges Theorem für einen Fall ent- 

 wickeln, für welchen die Differentialgleichung der allgemeineren Form 



wo f eine rationale Function der Argumente bedeutet, angehört. 



Es seien £, , £ 2 , £ 3 drei eindeutige vierfach periodische Functionen 

 der unabhängigen Variablen u, . n 2 . welche für endliche Werthe dieser 

 Variablen den Charakter rationaler Functionen besitzen, und welche 

 so beschaffen sind, dass unter den Periodensystemen je einer der- 

 selben sich alle Periodensysteme der beiden anderen befinden, so 

 folgt aus einem von Hrn. Wedeestrass 1 gegebenen Satze, dass £, , £ 21 £, 

 durch eine irreduetible algebraische Gleichung mit einander verbun- 

 den sind. 



Da die Ableitungen der Functionen £ wie diese beschaffene 

 Functionen sind und dieselben Perioden besitzen, so folgt, dass 

 zwischen jeder Ableitung einer der Functionen £ und zweien dieser 

 Functionen selbst je eine irreduetible algebraische Gleichung besteht. 

 Demnach hat man 



|d£, =A ll du 1 + A l2 äu 2 , 

 ,n \d&= A 2l du, + A 22 du 2 , 



wo A ;k algebraische Functionen von ?, . | s bedeuten. Durch Auf- 

 lösung der Gleichungen ( i ) möge sich 



[du, =B ll d^ 1 + B l2 d£ 2 

 \du 2 = B n dl- t + B 22 rf£ 

 ergeben. In diesen Gleichungen sind demnach R ik algebraische Func- 

 tionen von £, . '£., . 



Bedeuten c, . r, willkürliche, von ii t , //, unabhängige Grössen, 

 und setzen wir 



(2) 



3 (£', = </>, («, + '', , ", + ß 2 ) • g = <p2 ("■ + <\ , U 3 + C 2 ) , 



Borcbardt's Journal, Bd. 89, S. 



