Zur Theorie der eindeutigen analytischen 



Functionen. 



/ Von 



H' n WEIERSTRASS. 



(Gelesen in iler Akademie der Wissenschaften am 16. Oetober 1876.] 



1. Vorbemerkungen. 



U. 



nter den eindeutigen analytischen Functionen einer Veränderlichen 



Mlden die rationalen eine in sieh abgeschlossene Klasse, deren charak- 

 teristische Eigenthümlichkeit zunächst festgestellt werden soll. 



Ich will von einer eindeutigen Function /(.r) -sagen, ßie verhalte 

 sieh in der Umgebung einer bestimmten Stelle a regulär, wenn sie für 

 alle Werthe von x innerhalb des Bezirks, in welchem der ah'solute De- 

 trag von (x — <t) kleiner als ein gewisser Grenzwerth ist. in Form einer 

 Reihe 



A ■+■ A, (x - a) -+- A, (x - a)' + . . . . 



deren Coöfficienten bestimmte, von .' unabhängige Werthe haben, darge- 

 stellt werden kann. Dies gilt auch, wenn a = oo ist. indem ich in die- 

 sem Falle der Formel 



^ 



die Bedeutung von - gebe. 



Ich will ferner im Gebiete der Grösse x jede Stelle a', in deren 

 Umgebung /(x) sich nicht regulär verhält, eine singulare nennen, da- 

 bei aber unterscheiden, ob /(.r) durch Multiplication mit einer gan- 

 zen Potenz von (x — n') in ©ine in der Umgebung von </' regu- 

 lär sich verhaltende Function verwandelt werden kann oder 



2* 



