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nicht; im erstem Falle betrachte ich a! als eine ausserwesentliche, 

 im andern als eine wesentliche singulare Stelle. 



Hiernach hat für x = a die Function /(•'') einen bestimmten 

 Werth nicht nur, wenn f(x) in der Umgebung von a sich regulär ver- 

 hält, sondern auch wenn die Stelle a eine ausserwesentliche singulare ist. 

 Denn in beiden Fällen lässt sich f(x) für hinlänglich kleine Werthe von 

 (x — a) in der Form 



f(x) = (x — «)""'. (A + A 1 (x — ä) + A 2 (x — «y -+- . . .) 



so darstellen, dass m eine ganze Zahl ist und A einen von Null ver- 

 schiedenen Werth hat; und es ist also, wenn m > 0, für jeden unendlich 

 kleinen Werth von (x — et) der entsprechende Werth von f(x) unendlich 

 gross, und für x = a ergiebt sich f(a) — oo. 



Aus dem vorstehenden Ausdruck von f(x) ergiebt sich zugleich, 

 dass innerhalb des Convergenzbezirkes der eingeklammerten Reihe eine 

 singulare Stelle nicht existirt, wenn m ^ 0, und nur die eine a, wenn 

 ra >■ ist. Daraus folgt weiter, dass eine Stelle, von der sich nachwei- 

 sen lässt, dass auch in einer unendlich kleinen Umgebung derselben von 

 ihr verschiedene singulare Stellen existiren, nothwendig eine wesentliche 

 singulare Stelle ist. 



Dies vorausgeschickt lässt sich nun die Klasse der rationalen Func- 

 tionen einer Veränderlichen (x) deliniren als die G-esammtheit der- 

 jenigen eindeutigen Functionen von x, für die es im Gebiete 

 dieser Grösse nur ausserwesentliche singulare Stellen giebt. 



Ist nämlich erstens f(x) eine rationale Function — im gewöhn- 

 lichen Sinne — und a irgend ein bestimmter Werth von X, so kann man 

 f(x) zunächst als Quotient zweier ganzen Functionen von (x — «), die 

 für x = a nicht beide gleich Null sind, darstellen und sodann, wenn von 

 den nicht verschwindenden Gliedern des Divisors das niedrigste von der 

 mten Ordnung ist, bei hinlänglich kleinen Werthen von (x — a) 



(* - «)VW 

 in eine Reihe von der oben ano-ejrebenen Form entwickeln ; d. h. es exi- 

 stiren für die Function /(.r) nur ausserwesentliche singulare Stellen. 



Angenommen zweitens, es sei f(x) eine irgendwie dehnirte eindeu- 

 tige Function, man wisse aber, dass für dieselbe wesentliche singulare 



