Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen. LS 



Stellen im ganzen Gebiete \i>n .<■ nicht existiren, bo dass in der Umge- 

 bung jeder beliebig angenommenen Stelle a die Function in der vorhin 

 angegebenen Form 



(.c — a) '. (.1,, + .1, (x — a) -4- 4, (.r — a)» -+- . . .) 



darstellbar ist. Nimmt man zunächsl " », so giebl es nach dem 

 Obigen im Innern des Convergenzbezirkes der eingeklammerten Reihe ent- 

 weder gar keine singulare Stelle, oder nur die eine », wenn m>0 ist. 

 Sämmtliche singulare Stellen — ausser oo — sind also in einem ganz 



- 



im Emilichen liegenden Bereiche zu suchen. In demselben kann es aber 



o 



nur eine endliche Anzahl solcher Mellm geben. Existiren nämlich für 



O" 



irgend eine eindeutige Function im Innern eines begrenzten Bereicha un- 

 endlich viele ausserwesentliche singulare Stellen, so giebl es im Innern 

 oder an der Grenze des Bereichs wenigstens eine Stelle, welche sich da- 

 durch auszeichnet, dass in jeder Umgebung derselben von ihr verschie- 

 dene singulare Stellen vorhanden sind, und die somil nach dem vorher 

 Bemerkten eine wesentliche singulare Stelle für die Function ist. Es 

 ergiebl sich also aus der angenommenen Beschaffenheil <Ut betrachteten 

 Function /(•>') mit Notwendigkeit, dass es für sie nur eine endliche 

 Anzahl singulärer Stellen geben kann. 



Es isl nun zunächsl der Fall möglich, dass /(.r) in der Umgebung 

 jeder im Endlichen liegenden Stelle sich regulär verhält, also durch eine 

 für jeden endlichen Werth von x convergirende Reihe von i\w Form 



1 , + .l^+.l., .,•- + ... 



dargestelll werden kann. Da die Stelle so, wenn sie überhaupt eine sin- 

 gulare Stelle ist. nur eine ausserwesentliche sein kann, so muss sich eine 

 ganze, nicht negative Zahl m so bestimmen lassen, dass 



(') •''« 



für jeden unendlich grossen Werth von x unendlich klein ist. Dies aber 

 i-t nach meinem bekannten Satze nur möglich, wenn in der vorstehen- 

 den Reihe alle Coet'ticienten. deren Index \m ist. verschwinden. 



In dem Falle ferner, dass auch im Endlichen singulare Stellen vor- 

 handen sind, mögen dieselben mit 





