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bezeichnet werden, sowie mit m k die kleinste ganze Zahl, durch welche be- 

 wirkt werden kann, dass die Function 



<>-«*r/(s) 



in der Umgebung der Stelle a k sich regulär verhält. Dann ist 



eine Function, welche in der Umgebung jeder im Endlichen liegenden 

 Stelle sich regulär verhält, woraus nach dem Bewiesenen folgt, dass f(x) 

 in der Form 



G(x) 



dargestellt werden kann, wo G(x) eine ganze rationale Function von x 

 bedeutet. 



Hiermit ist bewiesen, dass in der gegebenen Definition wirklich 

 die charakteristische Eigenthümlichkeit der rationalen Functionen einer 

 Veränderlichen ausgesprochen wird. 



Durch die vorstehenden Erörterungen ist aber auch für die Be- 

 handlung der eindeutigen transcendenten Functionen eines Arguments ein 

 Fingerzeig gegeben, und namentlich der Weg bezeichnet, welcher zu einer 

 Eintheilung derselben in Gattungen nach einem sachgemässen Princip 

 führen muss : die Untersuchung der Möglichkeiten, welche bei ihnen in 

 Betreff des Vorkommens der wesentlichen singulären Stellen vorhanden 

 sind. Aber auch ohne diese Möglichkeiten — welche, wie ich später 

 zeigen werde, zahlreicher und mannigfaltiger sind als man, die bisher un- 

 tersuchten Functionen überblickend, anzunehmen geneigt sein möchte — 

 vollständig zu übersehen, wird man in den eindeutigen Functionen mit 

 einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen die den rationa- 

 len Functionen am nächsten stehenden erkennen, und als Einer Gattung 

 angehörend alle diejenigen betrachten, bei denen die Zahl solcher Stellen 

 dieselbe ist. 



Man überzeugt sich leicht, dass es Functionen dieser Art mit be- 

 liebig vielen, und zwar vorgeschriebenen wesentlichen singulären Stellen 

 wirklich giebt. 



Wie oben bemerkt worden, wird durch jede unendliche Reihe 



