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sentliche singulare Stellen als diejenigen, an denen eine der Grössen 

 x, ...x unendlich wird. 



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Nun ist im Vorhergehenden gezeigt worden, dass man von einer 

 Function f(x) nur zu wissen brauche, sie sei eine eindeutige Function 

 ohne eine wesentliche singulare Stelle, um sicher zu sein, dass sie als 

 Quotient zweier ganzen rationalen Functionen von x (von denen sich eine 

 auf eine Constante reduciren kann) dargestellt werden könne; mit ande- 

 ren Worten, es ist nachgewiesen worden, dass durch die beiden ange- 

 nommenen Eigenschaften der Function auch die Art der arithmetischen 

 Abhängigkeit ihres Werthes von dem Werthe der unabhängigen Veränder- 

 lichen bedingt und bestimmt ist. Dadurch ist die Frage nahe gelegt, 

 ob für die eindeutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesent- 

 licher singulärer Stellen etwas Ähnliches gelte — ob es möglich sei, 

 arithmetische, aus der Veränderlichen x und aus unbestimmten Constan- 

 ten zusammengesetzte Ausdrücke aufzustellen, welche sämmtliche Func- 

 tionen einer bestimmten Gattung — und nur diese — umfassen. 



In der vorliegenden Arbeit findet diese Frage, in der ein den Ele- 

 menten der Functionenlehre angehöriges, allgemeines und zugleich wohl- 

 begrenztes Problem ausgesprochen ist, ihre vollständige Erledigung. Das 

 Resultat ist einfacher als die Mannigfaltigkeit der Formen, in denen, wie 

 die gegebenen Beispiele lehren, Functionen der in Rede stehenden Art 

 auftreten können, es erwarten liess. 



Unter den fraglichen Functionen — die rationalen jetzt eingeschlos- 

 sen — sind die einfachsten diejenigen, für welche es im ganzen Gebiete 

 der unabhängigen Veränderlichen nur eine Stelle giebt, in deren Umge- 

 bung sie sich nicht regulär verhalten. Liegt diese Stelle im Unendlichen, 

 so kann, wie bekannt, eine solche Function stets dargestellt werden 

 durch eine Reihe von der Form 



in der x die unabhängige Veränderliche, die Coefficienten A , A l , A 2 ... 

 aber constante (gegebene oder doch eindeutig definirbare) Grössen bedeu- 

 ten: so wie anderseits jede Reihe von dieser Form, wenn sie für jeden 

 endlichen Werth von x convergirt, der Ausdruck einer eindeutigen Func- 

 tion von x mit der einen singulären Stelle oo ist. Eine solche Function 



