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(auch unendlich viele) ausserwesentliche hat, kann in jeder der 

 beiden nachstehenden Formen: 



2 <?„ 



1) 



U— c J 



v=l \x — c v / 



2) ^--frf-^W 



ausgedrückt werden, und zwar dergestalt, dass Zähler und Nen- 

 ner für keinen Werth von ,v beide verschwinden. 



Umgekehrt stellt, wenn die Functionen G 1 ...G 2n willkür- 

 lich angenommen werden, jeder dieser Ausdrücke eine eindeu- 

 tige Function von x dar, welche im Allgemeinen n, in speciel- 

 len Fällen auch weniger als n wesentliche singulare Stellen hat 

 — welchen Beschränkungen die Wahl der G unterliegt, wenn 

 das Erstere stattfinden soll, wird später angegeben — während 

 die Anzahl der ausser wesentlichen singulären Stellen, an denen 

 die Function unendlich wird, unbeschränkt ist. 



Von dem Verhalten der eindeutigen Functionen mit einer endlichen 

 Anzahl wesentlicher Stellen in der Umgebung einer solchen Stelle wird 

 weiter unten die Rede sein. 



Von diesen Sätzen war bisher nur der unter (A) angeführte be- 

 kannt, und der unter (B, 1) aufgestellte aus bekannten Sätzen leicht ab- 

 zuleiten. Die übrigen aufzufinden war nicht schwer, nachdem einmal die 

 Aufgabe, um die es sich handelt, gehörig präcisirt war. Um sie allge- 

 mein beweisen zu können, hatte ich jedoch, wie sich alsbald ergab, zu- 

 vor eine in der Theorie der transcendenten ganzen Functionen beste- 

 hende, sogleich anzugebende Lücke auszufüllen, was mir erst nach man- 

 chen vergeblichen Versuchen vor nicht langer Zeit in befriedigender Weise 

 gelungen ist. 



Für jede eindeutige Function f(x) gilt, dass in einem Theile des 

 Gebiets von x, der w r eder im Innern noch an der Grenze eine wesent- 



