Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen. 19 



liehe singulare Stelle enthält, Werthe, Ölr die f(x) = oo, und ebenso 

 Werthe, für die f(x) = ist, stets nur in endlicher Anzahl vorhanden Bind. 

 Das Erstere ergiebl sich anmittelbar aus dem oben (S. 13) Bemerkten, 

 und das Letztere ebenfalls, wenn man beachtet, dasa die Function 



i 

 /(<■) 

 dieselben wesentlichen singulären Stellen hat wie f(x) seihst. 



1-t insbesondere / x) eine ganze Function, so giebl es also unter 

 den Werthen von x, deren absoluter Betrag eine willkürlich angenommene 

 Grenze nicht übersteigt, stets nur eine endliche Anzahl solcher, für die 

 /(•'') gleich Null ist. Dies gilt auch noch, wenn in Übereinstimmung mit 

 dem bei ganzen rationalen Functionen Gebräuchlichen festgesetzt wird, 

 dass bei Bestimmung der in Rede -teilenden Zahl jeder Werth, für wel- 

 chen ausser der Function /(a;) selbsl auch die (w — l) ersten Ableitungen 

 derselben verschwinden, die ute aber nicht, als ein u-mal zu zählender 



betrachtet werden soll. 



Hieraus folgt, dass aus den Werthen von x, für die eine bestimmte 

 eindeutige und ganze Function dieser (Jrösse versch windet, mag die An- 

 zahl derselben unendlich gross oder endlich sein, in jedem Falle eine 

 Reihe 



in der Art gebildet werden kann, dass 



1) in derselben jeder Werth so oft, als er nach der gemachten 

 Festsetzung zu zählen ist, vorkommt; 



2) für je zwei auf einander folgende Glieder der Reihe ("„•"„+,) 



l<Wl > Kl': 



3) im Falle, dass die Reihe nicht abbricht. 



Lim. | u n | = oo 



ist. 



*) Ich bezeichne, wenn «, reell« Grössen sind, den absoluten Betrag von 

 a + ßi. d. Ii. den positiven Wertn der Quadratwurzel aus («'-+■ 3'), mit 



\« + ßi\. 



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