20 Weierstrass: 



Die so gebildete Reihe (rt x , « 2 , a 3 ...) möge die Reihe der ,, Null-Stellen" 

 der betr. Function heissen. 



Dies festgestellt, ergeben sich nun zwei Fragen: 



1) In wie weit ist eine Function G(x) durch die Reihe ihrer Null- 

 Stellen bestimmt? 



2) Existirt, wenn eine Reihe bestimmter Grössen von der im Vor- 

 stehenden unter (2, 3) angegebenen Beschaffenheit gegeben ist, 

 stets eine Function G(x), für welche sie in dem festgestellten 

 Sinne die Reihe der Null-Stellen bildet? 



Die erste Frage beantwortet sich leicht. Es giebt unendlich viele 

 ganze Functionen, welche dieselben Null-Stellen haben wie eine gegebene 

 G(x); sie sind sämmtlich enthalten in dem Ausdruck 



wo unter G(x) eine willkürlich anzunehmende ganze Function zu ver- 

 stehen ist. 



Was dagegen die zweite, bis jetzt unerledigt gebliebene Frage an- 

 geht, so werde ich im folgenden §. nachweisen, dass dieselbe unbe- 

 dingt zu bejahen ist. 



Mit Hülfe des so gewonnenen fundamentalen Satzes lassen sich 

 dann von den im Vorstehenden unter (A, B, C) aufgestellten Theoremen 

 zunächst die auf Functionen mit einer wesentlichen singulären Stelle sich 

 beziehenden leicht beweisen. 



Sodann wird ein Hülfssatz eingeschaltet. 



Es sei 



<f>(x) = & -r--^- 



X— c„ 



wo die (c , k) Constanten bedeuten, welche keiner andern Beschränkung 

 unterworfen sind, als dass von den Grössen k y ...k n keine gleich Null, 

 und von den c 1 ...c n keine zwei einander gleich sein sollen. Ferner 

 seien F u (y) , F t (y) ... -F^O/) eindeutige Functionen der Veränderlichen y 

 mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo. Alsdann stellt nicht nur 

 der Ausdruck 



n— 1 f i \v 



