Zur Theori der eindeutigen analytischen Functionen. _l 



WO c eine beliebige der Grössen < 1 ...c n bedeutet, wenn man in dem- 

 selben 



y = <p(x) 



setzt, stet- eine eindeutige Function mit den wesentlichen Bingulären 

 Stellen c, ... c g dar, Bondern es lassen sich auch für jede gegebene Func- 

 tion /(.i) dieser Art die Functionen F (>/)■■■ I 1 H - l G/) so bestimmen, dass 



/(•'•)=-'/,, , |.( J ) 



ist. Dabei werden F (y) ... F n-1 (y) B&mmtlich ganze Functionen von y, 

 wenn die Function f(x) keine ausserwesentliche singulare Melle- hat. 



Dieser Satz führt dann zu dem anter (B. I) gegebenen Ausdruck 

 einer Function mit n (wesentlichen oder ausserwesentlichen) Bingulären 



Stellen. 



'Eine solche Function kann so beschaffen sein, dass sie an keiner 

 von den c 1 ...C n verschiedenen Stelle verschwindet: in diesem Falle er- 

 sieht sich für sie der Ausdruck 



Ä*(*)n/' ( ^. 



1=1 



Ist nun /(.() eine beliebige eindeutige Function mit den n wesent- 

 lichen singulären Stellen c, ... c , so hat man das Gebiet der Veränder- 

 liehen x in n Theile dergestalt zu zerlegen, dass im Innern eines jeden 

 eine der genannten Stellen liegt, und zugleich an der Grenze zwischen 

 je zwei Theilen /(.»■) überall einen endlichen und von Null verschiedenen 

 Werth hat: was auf unendlich viele Arten geschehen kann. Dann giebl 

 es, wenn unter c irgend eine der Stellen c 1 ...c M und unter C der zuge- 

 hörige Theil verstanden wird, unter den zu C gehörenden Werthen von 

 .'. für welche 



| X — C | > q 



ist, wo a eine beliebig klein anzunehmende positive Grösse bedeutet, nur 

 eine endliche Anzahl solcher, für die /(•<) verschwind« t : was auch noch 

 gilt, wenn auch jetzt festgesetzt wird, dass bei der Zählung dieser Werthe 

 so verfahren werth', wie vorhin für eine ganze Function angegeben wor- 

 den. Fs kann demnach, wenn es Oberhaupt in C Werthe gieht. \nv die 

 y'(x) = o ist, aus der Gesammtheit derselben eine Reihe 



